Kurs:Lineare Algebra/Teil I/28/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	3	1	3	3	2	4	4	2	4	6	3	6	3	4	63

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Eine Termitenkönigin legt ${}36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am ${}29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über den Basiswechsel.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=X^{n}\in K[X]$ mit ${}n\geq 1$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von ${}P$ die Form ${}X^{k}$, ${}1\leq k\leq n$, besitzen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Determinante von

${\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}-5}{x+3}}&{\frac {x^{3}-7}{2x}}\\{\frac {x^{2}+1}{x^{2}-4x}}&{\frac {3x^{2}-x}{x^{2}-3}}\end{pmatrix}}$

über dem Körper ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$, es seien ${}a,b\in K$ mit ${}a\neq 0$ und es sei ${}a\operatorname {Id} _{V}$ die Streckung zu ${}a$. Zeige, dass ${}b$ genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$ ist, wenn ${}ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ${}a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den Jordanblöcken

$1,\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&1&0&0\\0&0&1&1&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

besteht.

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}3x+2y-z+4w=1\,.$