Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 4 1 3 3 3 5 4 4 3 3 3 3 8 3 62



Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen -Vektorräumen und .
  3. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
  2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Aufgabe * (2 Punkte)

wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

  1. Der Mörder ist oder oder oder .
  2. Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
  3. sind alle verschieden.
  4. Es gibt genau einen Mörder.
  5. Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
  6. ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

es sei die Lösungsmenge.

  1. Zeige, dass und affin-unabhängige Punkte von sind.
  2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

    bezüglich und .


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reellen Nullstellen hat.


Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

  1. Es sei ein Polynom über einem Körper der Form

    mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.

  2. Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form

    mit und hat.

  3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Nullstelle des Polynoms

Zeige, dass

ein Eigenvektor der Matrix

zum Eigenwert ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Es seien , , und Punkte in und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Es sei eine Abbildung

eine lineare Abbildung

und ein Punkt derart gegeben, dass

für alle gibt. Zeige, dass affin-linear ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Abbildung mit

für gewisse . Zeige direkt, dass mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.