Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	1	3	3	3	4	1	3	2	2	2	2	5	5	4	3	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die leere Menge.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.

Aufgabe (2 Punkte)

Man erläutere das Prinzip, dass viele Bedingungen zu einer kleinen Lösungsmenge korrespondieren, anhand eines alltäglichen und anhand eines mathematisches Beispiels.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge ${}1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt ${}19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. ${}50.000$ Euro im Jahr ${}2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}2$	${}5$	${}4$	${}7$	${}4$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$

a) Bestimme das Bild von ${}\{5,6,7\}$ unter ${}\varphi$.

b) Bestimme das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ unter ${}\varphi$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}K=\mathbb {R} (t)$  der Körper der rationalen Funktionen über ${}\mathbb {R}$. Löse das lineare Gleichungssystem

${}tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,$

${}x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}=-2$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}3&7\\4&5\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

bilinear ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

a) Es sei  ${}F\in K[X]$  ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

${}F=aX^{n}\,$

mit  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und  ${}a\neq 0$.  Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

b) Es sei  ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$  ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

${}F=aX^{n}\,$

mit  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und  ${}a\neq 0$  hat.

c) Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom  ${}F\in \mathbb {R} [X]$  mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu  ${}z\in K$  bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

a) Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

b) Es sei

${}M={\left\{\operatorname {Ev} _{z}\mid z\in K\right\}}\subseteq {\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}\,.$

Zeige, dass ${}M$ keines der Untervektorraumaxiome erfüllt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${}M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.

c) Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${}M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{3}$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ und ${}\mathbb {Q} ^{3}$ die einzigen ${}\varphi$- invarianten Untervektorräume sind. Verwende, dass ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ irrational ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.