Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	4	1	3	2	3	3	5	4	4	3	3	3	3	8	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}1$	${}5$	${}2$	${}5$	${}4$	${}7$	${}4$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.$

a) Bestimme das Bild von ${}\{5,6,7\}$ unter ${}\varphi$.

b) Bestimme das Urbild von ${}\{1,2,3,4\}$ unter ${}\varphi$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix. Zeige

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=1+\det \left(M\right)-\det \left(E_{2}-M\right)\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

${}4x-9y=5\,,$

es sei ${}L$ die Lösungsmenge.

1. Zeige, dass ${}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$ und ${}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$ affin-unabhängige Punkte von ${}L$ sind.
2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

   ${}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$

   bezüglich ${}P$ und ${}Q$.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${}M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${}M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass

$-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+2X^{2}-2.$

Zeige, dass

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{(1+\lambda )^{3}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )^{2}}}\\{\frac {1}{(1+\lambda )}}\\1\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor der Matrix

${\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

zum Eigenwert ${}\lambda$ ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}P$ ein Punkt in einem affinen Raum ${}E$ über ${}V$. Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für ${}P$ sind (es sei ${}Q\in E$ und ${}v\in V$).

1. ${}P$.
2. ${}P+Q-Q$.
3. ${}(P+v)-(Q+v)+Q$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Es seien ${}P_{i}$, ${}i\in I$, und ${}P,Q$ Punkte in ${}E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

${}P-Q+\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}={\overrightarrow {QP}}+{\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}\,,$

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F,$

eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und ein Punkt ${}P\in E$ derart gegeben, dass

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ gilt. Zeige, dass ${}\psi$ affin-linear ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung mit

${}\psi (x)=ax+b\,$

für gewisse ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige direkt, dass ${}\psi$ mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.