Kurs:Lineare Algebra/Teil I/51/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	3	5	3	1	0	2	8	4	0	3	2	4	52

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Die Matrizenmultiplikation.
3. Der von einer Familie von Vektoren ${}v_{i},\,i\in I$, aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ aufgespannte Untervektorraum.
4. Die Elementarmatrizen.
5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
6. Ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
3. Das Lemma von Bezout für Polynome.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Aufgabe * (3 (0.5+0.5+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.

a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?

b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?

c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?

d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$-5x-{\frac {1}{3}}y=1{\text{ und }}-7x+{\frac {1}{2}}y={\frac {2}{3}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}5x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}6x-11y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in ${}K^{m}$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix ${}M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}-{\frac {9}{4}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {50}{3}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {2}{11}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}3&7\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (2+0.5+0.5) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.

1. Der Eigenraum

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

   ist ein Untervektorraum von ${}V$.

2. ${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
3. Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$, wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}1&7\\3&21\end{pmatrix}}$

nilpotent ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}6x+3y-5z+w=2\,.$