Kurs:Lineare Algebra/Teil I/51/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	2	4	3	0	0	2	8	4	3	1	3	2	5	4	49

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Matrizenmultiplikation.
2. Der von einer Familie von Vektoren ${}v_{i},\,i\in I$, aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ aufgespannte Untervektorraum.
3. Die Elementarmatrizen.
4. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
6. Ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten.
3. /Fakt/Name

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$-5x-{\frac {1}{3}}y=1{\text{ und }}-7x+{\frac {1}{2}}y={\frac {2}{3}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}8&4\\5&9\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}5x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}6x-11y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}3&7\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}-{\frac {9}{4}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {50}{3}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {2}{11}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 (2+0.5+0.5) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$. Zeige folgende Aussagen.

1. Der Eigenraum

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$

   ist ein Untervektorraum von ${}V$.

2. ${}\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn der Eigenraum ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ nicht der Nullraum ist.
3. Ein Vektor ${}v\in V,\,v\neq 0$, ist genau dann ein Eigenvektor zu ${}\lambda$, wenn ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}1&7\\3&21\end{pmatrix}}$

nilpotent ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in ${}K^{m}$ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}6x+3y-5z+w=2\,.$