Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 6 2 0 4 4 1 0 3 0 3 5 1 3 7 0 45



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einen -Vektorraum .
  4. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Die -te äußere Potenz zu einem -Vektorraum (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
  2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Durch die Matrix

ist eine lineare Abbildung gegeben (). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von .


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist eine Achsenspiegelung im selbstadjungiert?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?


Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und . Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge .

  1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
  2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die in überführt.
  3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante .
  4. Die Dritteldrehung um die Raumachse , die in überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die auf , auf abbildet und die und vertauscht?


Aufgabe * (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel für eine uneigentliche Symmetrie des Achsenkreuzes im in Matrixform.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge , , gegen konvergiert.


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

mit .

  1. Berechne die Eigenwerte der Matrix.
  2. Berechne eine Eigenverteilung.


Aufgabe (0 Punkte)