Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	2	0	4	4	1	0	3	0	3	5	1	3	7	0	45

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen euklidischen Vektorräumen.

2. Eine Orthogonalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Durch die Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &\sin \beta \\0&0&\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$

ist eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ gegeben (${}\alpha ,\beta \in [0,\pi [$). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von ${}\varphi$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}0&b\\b&c\end{pmatrix}}$

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von ${}b,c$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist eine Achsenspiegelung im ${}\mathbb {R} ^{2}$ selbstadjungiert?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element, und seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ die Gerade durch ${}A$ und ${}G$, es sei ${}\beta$ die Gerade durch ${}B$ und ${}H$, es sei ${}\gamma$ die Gerade durch ${}C$ und ${}E$, es sei ${}\delta$ die Gerade durch ${}D$ und ${}F$. Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge ${}M=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$.

1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die ${}A$ in ${}B$ überführt.
3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante ${}A,E$.
4. Die Dritteldrehung um die Raumachse ${}\alpha$, die ${}B$ in ${}D$ überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die ${}\alpha$ auf ${}\alpha$, ${}\beta$ auf ${}\beta$ abbildet und die ${}\gamma$ und ${}\delta$ vertauscht?

Aufgabe * (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel für eine uneigentliche Symmetrie des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ in Matrixform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${\begin{pmatrix}p&0&1-r\\1-p&q&0\\0&1-q&r\end{pmatrix}}$

mit ${}0\leq p,q,r\leq 1$.

1. Berechne die Eigenwerte der Matrix.
2. Berechne eine Eigenverteilung.

Aufgabe (0 Punkte)