Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 7
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.
- , , , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
Aufgabe
Aufgabe
Bestimme eine Basis des Untervektorraums .
Aufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
Aufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
ist.
Aufgabe *
Im seien die beiden Untervektorräume
und
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Aufgabe
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie , , linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
- Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.
Aufgabe
Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.
Aufgabe *
Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Aufgabe *
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
Aufgabe *
Es sei ein angeordneter Körper und sei
der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
ein -Untervektorraum von ist.
b) Sind die beiden Folgen
linear unabhängig in ?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass im Raum der - Matrizen die Matrizen , die genau an der Stelle den Eintrag und sonst überall den Eintrag haben, eine Basis bilden.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei der - dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine - Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei
ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
ist.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >> |
---|