Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 5

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe

Bringe das lineare Gleichungssystem

in Standardgestalt und löse es.


Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Es sei der in Beispiel 3.8 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.


Der Körper besteht aus allen reellen Zahlen der Form mit . Das inverse Element zu ist .

Aufgabe *

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Einsetzungsverfahren.


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Gleichsetzungsverfahren.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als ist.


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.


Aufgabe *

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und ein -Tupel über einem Körper , und es sei ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

und wie löst man es?


Aufgabe

Löse die linearen Gleichungssysteme

simultan.


Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.


Aufgabe

3punktsmodell.svg

Es sei

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung durch ersetzt?


Aufgabe *

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.


Aufgabe *

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter den Lösungsraum der linearen Gleichungssystems




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im die beiden Ebenen

Bestimme die Schnittgerade .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von . Für welche besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit dem Einsetzungsverfahren.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.



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