Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 6

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ -Matrizen über einem Körper , also Matrizen der Form

die die Bedingung

erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen -Vektorraum bildet.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des Untervektorräume sind:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien und . Zeige


Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.


Aufgabe *

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Aufgabe

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige .


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien zwei Indexmengen. Zeige, dass dann in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige Vektorraum. Zeige, dass

ein Untervektorraum von ist.

Zu jedem sei durch

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als Linearkombination der Familie , , darstellen lässt.


Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und sei

Zeige, dass ein Untervektorraum des Folgenraums

ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

ein Untervektorraum ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

ein Untervektorraum ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

kein Untervektorraum ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

  1. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    gilt.

  2. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    nicht gilt.


Aufgabe

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe *

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren in und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

  1. Sei , , eine Familie von Untervektorräumen von . Dann ist auch der Durchschnitt
    ein Untervektorraum.
  2. Zu einer Familie , , von Elementen in ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
  3. Die Familie , , ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn

    ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Aus und folgt .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Menge mit einer Verknüpfung

und einer Abbildung

Es sei

eine surjektive Abbildung mit

für alle und . Zeige, dass ein -Vektorraum ist.



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