Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 6

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ $2 \times 2$ -Matrizen über einem Körper $K$ , also Matrizen der Form

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}),

die die Bedingung

a_{12} = a_{21}

erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen $K$ -Vektorraum bildet.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$ . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $ℝ^{2}$ Untervektorräume sind:

$V_{1} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x + 2 y = 0}$ ,
$V_{2} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x \geq y}$ ,
$V_{3} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y = x + 1}$ ,
$V_{4} = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x y = 0}$ .

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es seien $s_{1}, \dots, s_{k} \in K$ und $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ . Zeige

(\sum_{i = 1}^{k} s_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{n} v_{j}) = \sum_{1 \leq i \leq k, 1 \leq j \leq n} s_{i} \cdot v_{j} .

Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$ , eine kommutative Gruppe $(V, +, 0)$ und eine Abbildung

K \times V ⟶ V, (s, v) ⟼ s v,

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

(5) 1 u = u

erfüllt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$ , eine kommutative Gruppe $(V, +, 0)$ und eine Abbildung

K \times V ⟶ V, (s, v) ⟼ s v,

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

(6) r (s u) = (r s) u

erfüllt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$ , eine kommutative Gruppe $(V, +, 0)$ und eine Abbildung

K \times V ⟶ V, (s, v) ⟼ s v,

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

(7) r (u + v) = r u + r v

erfüllt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$ , eine kommutative Gruppe $(V, +, 0)$ und eine Abbildung

K \times V ⟶ V, (s, v) ⟼ s v,

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

(8) (r + s) u = r u + s u

erfüllt.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lassen und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es seien $U, W \subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn $U \subseteq W$ oder $W \subseteq U$ gilt.

Aufgabe *

Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$ -Matrizen

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}),

die die Bedingung

a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} = 0

erfüllen. Zeige, dass $D$ kein Untervektorraum im Raum aller $2 \times 2$ -Matrizen ist.

Aufgabe

Wir betrachten im $ℚ^{3}$ die Untervektorräume

U = ⟨ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) ⟩

und

W = ⟨ (\begin{matrix} 5 \\ - 1 \\ 11 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}) ⟩ .

Zeige $U = W$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

K^{I} := Abb (I, K)

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, und seien $J \subseteq I$ zwei Indexmengen. Zeige, dass dann $K^{J} = Abb (J, K)$ in natürlicher Weise ein Untervektorraum von $K^{I}$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $I$ eine Indexmenge, und $K^{I} = Abb (I, K)$ der zugehörige Vektorraum.

a) Zeige, dass

E = {f \in K^{I} ∣ f (i) = 0 für alle i \in I bis auf endlich viele Ausnahmen}

ein Untervektorraum von $K^{I}$ ist.

b) Zu jedem $i \in I$ sei $e_{i} \in K^{I}$ durch

e_{i} (j) = {\begin{matrix} 1, falls j = i, \\ 0 sonst, \end{matrix}

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element $f \in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie $e_{i}$ , $i \in I$ , darstellen lässt.

Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei

C = {{(x_{n})}_{n \in ℕ} ∣ Cauchyfolge in K} .

Zeige, dass $C$ ein Untervektorraum des Folgenraums

F = {{(x_{n})}_{n \in ℕ} ∣ Folge in K}

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

S = {f : ℝ \to ℝ ∣ f stetig} \subseteq Abb (ℝ, ℝ)

ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

T = {f : ℝ \to ℝ ∣ f differenzierbar} \subseteq Abb (ℝ, ℝ)

ein Untervektorraum ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

M = {f : ℝ \to ℝ ∣ f monoton} \subseteq Abb (ℝ, ℝ)

kein Untervektorraum ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

M = Abb (ℝ, ℝ),

die mit der stellenweisen Addition $+$ von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen $\circ$ eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
$(f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h$

gilt.
Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
$h \circ (f + g) = h \circ f + h \circ g$

nicht gilt.

Aufgabe *

Drücke in $ℚ^{2}$ den Vektor

(2, - 7)

als Linearkombination der Vektoren

(5, - 3) und (- 11, 4)

aus.

Aufgabe

Drücke in $ℂ^{2}$ den Vektor

(1, 0)

als Linearkombination der Vektoren

(3 + 5 i, - 3 + 2 i) und (1 - 6 i, 4 - i)

aus.

Aufgabe *

Drücke in $ℝ^{3}$ den Vektor

(1, 0, 0)

als Linearkombination der Vektoren

(1, - 2, 5), (4, 0, 3) und (2, 1, 1)

aus.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Vektoren in $V$ und $w \in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

w, v_{i}, i \in I,

ein Erzeugendensystem von $V$ ist und dass sich $w$ als Linearkombination der $v_{i}$ , $i \in I$ , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon $v_{i}$ , $i \in I$ , ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

Sei $U_{j}$ , $j \in J$ , eine Familie von Untervektorräumen von $V$ . Dann ist auch der Durchschnitt
$U = ⋂_{j \in J} U_{j}$

ein Untervektorraum.
Zu einer Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , von Elementen in $V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum.
Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$ , wenn
$⟨ v_{i}, i \in I ⟩ = V$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei $s \in K$ und $v \in V$ ).

Es ist $0 v = 0$ .
Es ist $s 0 = 0$ .
Es ist $(- 1) v = - v$ .
Aus $s \neq 0$ und $v \neq 0$ folgt $s v \neq 0$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im $ℚ^{4}$ die Untervektorräume

U = ⟨ (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) ⟩

und

W = ⟨ (\begin{matrix} 6 \\ - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ - 2 \\ - 7 \end{matrix}), (\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}) ⟩ .

Zeige $U = W$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.