Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 4/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

$2x+3y=7{\text{ und }}5x+4y=3.$

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse die lineare Gleichung

${}3x=5\,$

für die folgenden Körper ${}K$:

a) ${}K=\mathbb {Q}$,

b) ${}K=\mathbb {R}$,

c) ${}K=\{0,1\}$, der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 3.8,

d) ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 3.9.

Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt (siehe auch den Anhang). Eine komplexe Zahl hat die Form ${}a+b{\mathrm {i} }$ mit reellen Zahlen ${}a,b$. Bei der Multiplikation rechnet man ${}{\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} }=-1$. Die inverse komplexe Zahl zu ${}a+b{\mathrm {i} }\neq 0$ ist ${}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}-4x+6y&=&0\\5x+8y&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0)$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\20\\5\end{pmatrix}}\,$

aus Beispiel 4.1?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$. Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$, wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Unter dem ${}i$-ten Standardvektor der Länge ${}n$ versteht man den Vektor, der an der ${}i$-ten Stelle eine ${}1$ und sonst nur Nullen stehen hat.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_{i}\circ e_{j},$

wobei links der ${}i$-te Standardvektor (der Länge ${}n$) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$, wobei ${}e_{i}$ der ${}i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }&4{\mathrm {i} }\\-5+7{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}+{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5+4{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }\\{\sqrt {2}}-{\mathrm {i} }&e+\pi {\mathrm {i} }\\1&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\2-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}2\times 2$- Matrizen ${}A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ und ${}B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ gegeben. Das Produkt ${}A\cdot B$ ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt ${}8$ Multiplikationen im Körper ${}K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur ${}7$ Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

${}m_{1}={\left(a_{11}+a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{22}\right)}\,,$

${}m_{2}={\left(a_{21}+a_{22}\right)}\cdot b_{11}\,,$

${}m_{3}=a_{11}\cdot {\left(b_{12}-b_{22}\right)}\,,$

${}m_{4}=a_{22}\cdot {\left(b_{21}-b_{11}\right)}\,,$

${}m_{5}={\left(a_{11}+a_{12}\right)}\cdot b_{22}\,,$

${}m_{6}={\left(a_{21}-a_{11}\right)}\cdot {\left(b_{11}+b_{12}\right)}\,,$

${}m_{7}={\left(a_{12}-a_{22}\right)}\cdot {\left(b_{21}+b_{22}\right)}\,.$

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

${}AB=C={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}}\,$

die Gleichungen

${}c_{11}=m_{1}+m_{4}-m_{5}+m_{7}\,,$

${}c_{12}=m_{3}+m_{5}\,,$

${}c_{21}=m_{2}+m_{4}\,,$

${}c_{22}=m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{6}\,,$

gelten.

Zu einer Matrix ${}M$ bezeichnet man mit ${}M^{n}$ die ${}n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,$

die Potenzen

$M^{i},\,i=1,\ldots ,4.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix. Beschreibe ${}DM$ und ${}MD$.

Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation (siehe Aufgabe 4.24) und des Distributivgesetzes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Menge aller quadratischen ${}n\times n$- Matrizen über ${}K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein Ring ist.

Aufgabe Aufgabe 4.20 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n,p\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$, ${}C\in \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)$ und ${}s\in K$).

1. ${}{({A^{\text{tr}}})^{\text{tr}}}=A$.
2. ${}{(A+B)^{\text{tr}}}={A^{\text{tr}}}+{B^{\text{tr}}}$.
3. ${}{(sA)^{\text{tr}}}=s\cdot {A^{\text{tr}}}$.
4. ${}{(A\circ C)^{\text{tr}}}={C^{\text{tr}}}\circ {A^{\text{tr}}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}3&4\\2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}\,$

über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 3.9.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}3-2{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }&0\\7{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }&4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1-2{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&2+3{\mathrm {i} }\\5-7{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die vierte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

${}M^{4}=MMMM=0\,.$

Für die folgende Aussage wird sich über Lemma 11.10 ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 4.24 ändern

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix, ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}C$ eine ${}p\times r$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}(AB)C=A(BC)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Finde und beweise eine Formel für die ${}n$-te Potenz der Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}.$