Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme Fourierkoeffizienten ${}c_{-1},c_{0},c_{1},c_{2}$ für die Funktion ${}t^{2}-3t+4$ auf ${}[0,2\pi ]$ .

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }

eine Funktion und sei ${}T>0$ . Zeige, dass ${}f$ genau dann ${}T$ - periodisch ist, wenn es eine Faktorisierung

\mathbb {R} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }

gibt, wobei ${}p$ die Quotientenabbildung modulo der Untergruppe ${}\mathbb {Z} T\subseteq \mathbb {R}$ ist.

Wenn man ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auffasst, so kann man ${}p$ als ${}t\mapsto e^{{\frac {2\pi }{T}}{\mathrm {i} }t}$ realisieren. Wenn ${}f$ ein trigonometrisches Polynom zur Periode ${}T$ ist, sagen wir

{}f=\sum _{n=-N}^{N}r_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}=\sum _{n=-N}^{N}r_{n}{\left(e^{\omega {\mathrm {i} }t}\right)}^{n}\,,

so ist ${}f={\tilde {f}}\circ p$ mit

{}{\tilde {f}}(z)=\sum _{n=-N}^{N}r_{n}z^{n}\,.

Man erhält also ${}f$ , indem man in die rationale Funktion ${}{\tilde {f}}$ für die Variable die Funktion ${}e^{\omega {\mathrm {i} }t}$ einsetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ . Zeige, dass ein trigonometrisches Polynom ${}f=\sum _{n{}-N}^{N}c_{n}e^{{\mathrm {i} }\omega nt}$ höchstens ${}2N$ Nullstellen in ${}[0,T[$ besitzt.

Aufgabe

Multipliziere die beiden trigonometrischen Polynome

{}f=4e^{-2{\mathrm {i} }t}+5e^{-{\mathrm {i} }t}+7+3e^{{\mathrm {i} }t}+6e^{2{\mathrm {i} }t}\,

und

{}g=-2e^{-2{\mathrm {i} }t}+3e^{-{\mathrm {i} }t}-3+6e^{{\mathrm {i} }t}-e^{2{\mathrm {i} }t}\,.

Aufgabe

Es sei ${}f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten ${}c_{n}$ , ${}n\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die konjugiert-komplexe Funktion ${}{\overline {f}}$ die Fourierkoeffizenten

{}d_{n}={\overline {c_{-n}}}\,

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ und ${}f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten ${}c_{n}$ , ${}n\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die (zu ${}s>0$ ) umskalierte Funktion

{}g(t):=f(st)\,

die Periodenlänge ${}{\frac {T}{s}}$ besitzt und dass die Fourierkoeffizienten von ${}g$ ebenfalls gleich ${}c_{n}$ sind (die sich nun aber auf ein anderes Orthonormalsystem beziehen).

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ , ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ und ${}f\in L^{2}([0,T])$ mit den Fourierkoeffizienten ${}c_{n}$ , ${}n\in \mathbb {Z}$ . Zeige, dass die im Argument verschobene Funktion ${}g(t):=f(t+a)$ zu einem ${}a\in \mathbb {R}$ die Fourierkoeffizienten ${}c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega a}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ und sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }

eine ${}T$ - periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine gerade Funktion ist, wenn der Graph von ${}f$ auf ${}[0,T]$ achsensymmetrisch zur Achse durch ${}({\frac {T}{2}},0)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ und sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }

eine ${}T$ - periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine ungerade Funktion ist, wenn der Graph von ${}f$ auf ${}[0,T]$ punktsymmetrisch zum Punkt ${}({\frac {T}{2}},0)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ und sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }

eine stetige ${}T$ - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

${}f$ ist gerade.
Für die Fourierkoeffizienten gilt ${}c_{n}=c_{-n}$ .
Die reellen Koeffizienten ${}b_{n}$ sind alle ${}0$ .

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ und sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }

eine stetige ${}T$ - periodische Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

${}f$ ist ungerade.
Für die Fourierkoeffizienten gilt ${}c_{n}=-c_{-n}$ .
Die reellen Koeffizienten ${}a_{n}$ sind alle ${}0$ .

Aufgabe *

Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen ${}e^{{\mathrm {i} }mt}$ , ${}m\in \mathbb {Z}$ , wenn man sie auf ${}[0,\pi ]$ auffasst.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktionen

1,{\sqrt {2}}\cos 2\pi nt,n\in \mathbb {N} _{+},{\sqrt {2}}\sin 2\pi nt,n\in \mathbb {N} _{+},

ein vollständiges Orthonormalsystem von ${}L^{2}([0,1])$ bilden.

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$ - periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$ - integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung ${}f*g$ durch

{}(f*g)(t):={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\,

definiert.

Aufgabe *

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$ - periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$ - integrierbar sind und die Fourierreihen ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ bzw. ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}T>0$ . Zeige, dass ${}L^{2}([0,T])$ mit der Addition von Funktionen und der periodischen Faltung zu einem kommutativen Ring wird, in dem allerdings das neutrale Element für die Multiplikation fehlt.

Aufgabe *

Die sogenannten Bernoulli-Polynome ${}B_{n}$ für ${}n\in \mathbb {N}$ sind Polynome vom Grad ${}n$ , die rekursiv definiert werden: ${}B_{0}$ ist das konstante Polynom mit dem Wert ${}1$ . Das Polynom ${}B_{n+1}$ berechnet sich aus dem Polynom ${}B_{n}$ über die beiden Bedingungen: ${}B_{n+1}$ ist eine Stammfunktion von ${}(n+1)B_{n}$ und es ist