Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Arzelà-Ascoli}
Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum $X$ und darauf den
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathl{C(X, {\mathbb K} )}{} der stetigen Funktionen von $X$ nach ${\mathbb K}$. Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe
Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
für den Fall einer kompakten Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \subseteq }{ \R^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
Lemma 55.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq} { C(X, {\mathbb K} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
$Z$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Menge von Abbildungen von $X$ nach $Z$. Man nennt $T$
\definitionswort {gleichgradig stetig}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man nennt $T$
\definitionswort {gleichgradig stetig}{,}
wenn $T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in $x$, wenn sie stetig in $x$ ist. Auch eine Ansammlung von endlich vielen stetigen Funktionen ist automatisch gleichgradig stetig, siehe
Aufgabe 18.1.
Im Allgemeinen geht es darum, ob es für eine gegebene Funktionenmenge und jede vorgegebene Zielgenauigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Startumgebung gibt, die für alle Funktionen simultan die Zielbedingung sichert. Wenn $X$ ein metrischer Raum ist, so wird die Startumgebung durch eine Startgenauigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ cx+d \mid c, d \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller
\definitionsverweis {affin-linearen Funktionen}{}{,}
aufgefasst als Funktionen auf dem Intervall. Dann ist $S$ nicht
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{,}
da die Beziehung zwischen einer Zielgenauigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer Aufwandsgenauigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wesentlich von der Steigung $c$ der affin-linearen Funktion abhängt. Wenn man hingegen Schranken
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ < }{ c_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ cx+d \mid c, d \in \R , \, c_0 \leq c \leq c_1 \right\} }
}
{ \subseteq} { S
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachtet, so liegt gleichgradige Stetigkeit vor.
}
\inputfaktbeweis
{Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es gelten die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {$T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.}
} {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}}
\faktfolgerung {Dann ist $T$
\definitionsverweis {total beschränkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_x
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ <} { { \frac{ \epsilon }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{ U_x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es endlich viele Punkte
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^n U_{x_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ f(x_i) \mid f\in T , \, i = 1 , \ldots , n \right\} }
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^n { \left\{ f(x_i) \mid f\in T \right\} }
}
{ \subseteq} { {\mathbb K}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die einzelnen Auswertungsbilder
\mathl{{ \left\{ f(x_i) \mid f \in T \right\} }}{} beschränkt sind, ist auch $M$ beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} in ${\mathbb K}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq} { \bigcup_{j = 1}^m U { \left( z_j, { \frac{ \epsilon }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem Tupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) }
}
{ \in }{ \{ 1 , \ldots , m \}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ T_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } }
}
{ =} { { \left\{ f \in T \mid f(x_i) \in U { \left( z_{j_i}, { \frac{ \epsilon }{ 4 } } \right) } \text{ für } i = 1 , \ldots , n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \bigcup_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } } T_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ T_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U_{x_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), g(x) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f(x), f(x_i) \right) } + d { \left( f(x_i), g(x_i) \right) } + d { \left( g(x_i), g(x) \right) }
}
{ <} { d { \left( f(x), f(x_i) \right) } + d { \left( f(x_i), z_{j_i} \right) } + d { \left( z_{j_i} , g(x_i) \right) } + d { \left( g(x_i), g(x) \right) }
}
{ \leq} { 4 { \frac{ \epsilon }{ 4 } }
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } }
}
{ \subseteq} { U { \left( f, \epsilon \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T_{
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wählen zu jedem Tupel
\mathl{{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) }}{} eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) }
}
{ \in }{ T_
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann wird $T$ von den endlich vielen offenen Bällen $U { \left( f_
{ \left( j_1 , \ldots, j_n \right) } , \epsilon \right) }$ überdeckt.
In
Beispiel 18.2
sind die Auswertungsbilder nicht beschränkt, da $d$ in ganz $\R$ variieren kann. Wenn man das Intervall kompakt wählt und sowohl für
\mathkor {} {c} {als auch für} {d} {}
einem beschränkten Bereich feslegt, so erhält man mit
Lemma 18.3
eine total beschränkte Menge an affin-linearen Funktionen. Der folgende Satz heißt Satz von Arzelà-Ascoli.
\inputfaktbeweis
{Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{$T$ ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
}{ $T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zuerst $T$ kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus
Lemma 17.2.
Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 15.8} {} {}
\maabbeledisp {} {C(X,{\mathbb K})} { {\mathbb K}
} {f} { f(x)
} {,}
aus
Lemma 17.6
und aus
Satz 17.5.
Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von $T$ gemäß
Satz 17.12
gibt es endlich viele Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq} { \bigcup_{i = 1}^n U { \left( f_i, { \frac{ \epsilon }{ 3 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Für diese endlich vielen Funktionen $f_i$ finden wir eine gemeinsame offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f_i(x), f_i(x') \right) }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x'
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ U { \left( f_i, { \frac{ \epsilon }{ 3 } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$ und daher ist
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x'
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f(x), f_i(x) \right) } + d { \left( f_i(x), f_i(x') \right) } + d { \left( f_i(x'), f(x') \right) }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 3 } } + { \frac{ \epsilon }{ 3 } } + { \frac{ \epsilon }{ 3 } }
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß
Satz 17.12.
Nach
Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist wegen der Abgeschlossenheit von $T$ in
\mathl{C(X, {\mathbb K} )}{} auch $T$ vollständig und nach
Lemma 18.3
ist $T$
\definitionsverweis {total beschränkt}{}{.}
\zwischenueberschrift{Der Approximationssatz von Stone-Weierstrass}
Unter einer ${\mathbb K}$-Algebra versteht man einen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} auf dem zugleich eine Multiplikation mit einem neutralen Element $1$ für die Multiplikation erklärt ist. Speziell interessieren wir uns für Unteralgebren der Algebra aller ${\mathbb K}$-wertigen Funktionen auf einem topologischen Raum $X$ mit der punktweisen Multiplikation.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , {\mathbb K} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Menge von auf $X$ definierten ${\mathbb K}$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass $T$ die Punkte von $X$
\definitionswort {trennt}{,}
wenn es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \neq }{ f(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Hier wird $X$ stets eine
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und $T$ wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf $X$ sein. Ein wichtiges Beispiel ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $T$ die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall.
{Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , {\mathbb K} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$\R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{,}
die die Punkte aus $X$
\definitionsverweis {trennt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $X$ und zu vorgegebenen Werten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 18.7. }
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Betrag/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gehört mit $f$ auch $\betrag { f }$ zu $T$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $f$ gegeben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ =} { \sqrt{ f^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genügt es zu zeigen, dass mit einer nichtnegativen Funktion $g$ auch deren Quadratwurzel zu $T$ gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach
Lemma 17.7
davon ausgehen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { g }
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es gibt nach
Aufgabe 18.9
eine Folge von Polynomen $P_n(t)$, die auf $[0,1]$ gleichmäßig gegen $\sqrt{t }$ konvergiert. Dann konvergiert in
\mathl{C(X,\R)}{} auch $P_n \circ g$ gegen $\sqrt{g}$, die polynomialen Ausdrücke $P_n \circ g$ in $g$ gehören zu $T$ und wegen der Abgeschlossenheit von $T$ ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{g}
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gehören mit $f$ und $g$ auch
\mathbed {\operatorname{max} \left( f ,\, g \right)} {und}
{\operatorname{min} \left( f ,\, g \right)} {}
{} {} {} {}
zu $T$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} \left( f ,\, g \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } (f+g+ \betrag { f-g } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 18.7.
Der folgende Satz heißt \stichwort {Approximationssatz von Stone-Weierstrass} {.}
\inputfaktbeweis
{Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$\R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{,}
die die Punkte aus $X$
\definitionsverweis {trennt}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ =} { C(X,\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. jede stetige Funktion
\maabb {f} {X} { \R
} {}
lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei die stetige Funktion
\maabbdisp {f} {X} {\R
} {}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte
\mathl{x,y}{} nach
Lemma 18.6
eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_{xy}
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_{xy} (x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_{xy} (y)
}
{ = }{ f(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die offenen Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_y
}
{ =} { { \left\{ z \in X \mid g_{xy} (z) < f(z) + \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die $y$ enthalten. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{y\in X} U_y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Kompaktheit von $X$ gibt es endlich viele Punkte
\mathl{y_1
, \ldots , y_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n U_{y_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_x
}
{ \defeq} { \operatorname{min} \left( g_{x y_i} {{|}} i = 1 , \ldots , n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese Funktionen gehören nach
Korollar 18.8
zu $T$. Nach Konstruktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_x
}
{ <} { f + \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf ganz $X$. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_x(x)
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dies für jedes der beteiligten
\mathl{g_{xy_i}}{} gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ V_x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f - \epsilon
}
{ <} { g_x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte
\mathl{x_1 , \ldots , x_m}{} derart, dass die $V_{x_j}$ bereits $X$ überdecken. Daher gehört wegen
Korollar 18.8
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ \defeq} { \operatorname{max} \left( g_{x_j} {{|}} j = 1 , \ldots , m \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $T$. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f- \epsilon
}
{ <} { h
}
{ <} { f+ \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit hat man ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus der $\epsilon$-Umgebung von $f$ gefunden.
Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle.
\inputfaktbeweis
{Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und sei
\maabb {f} {T} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Polynom}{}{}
$p$ in $n$ Variablen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z)-p(z) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Die Polynomalgebra $\R[x_1 , \ldots , x_n]$ ist
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $C(T, \R)$.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 18.9, da Polynome Punkte trennen.
\inputfaktbeweis
{Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Polynom}{}{}
$p$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(t)-p(t) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Die Polynomalgebra $\R[t]$ ist
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $C([a,b], \R)$.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 18.9, da $[a,b]$ kompakt ist und Polynome Punkte trennen.
Wir erwähnen noch die folgende komplexe Variante.
{Topologischer Raum/Kompakt/C/Stone-Weierstrass/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X, {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{,}
die die Punkte aus $X$
\definitionsverweis {trennt}{}{}
und die mit jeder Funktion auch ihre
\definitionsverweis {komplex-konjugierte}{}{}
Funktion enthält.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ =} { C(X, {\mathbb C} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. jede stetige Funktion
\maabb {f} {X} { {\mathbb C}
} {}
lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 18.14. }