Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 25

Integralkerne

Es seien ${}(M,\mu )$ und ${}(N,\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume mit dem Produktraum ${}M\times N$ . Es sei

K\colon M\times N\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine messbare Funktion, die in diesem Zusammenhang ein Integralkern oder kurz Kern heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf ${}M$ in messbare ${}{\mathbb {K} }$ -wertige Funktionen auf ${}N$ transformieren, indem man die transformierte Funktion ${}T(f)=T_{K}(f)$ durch

{}(T(f))(y)=\int _{M}K(x,y)f(x)d\mu \,

definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

K\colon [a,b]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ wird die mittels ${}K$ transformierte Funktion ${}T(f)$ zugeordnet,

{}(T(f))(y)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(x)dx\,.

Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen ${}t$ und einer Frequenzvariablen ${}u$ , aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.

	Integralkern	Integrationsgebiet	Typischer Ausdruck ${}(Tf)(u)$
Fourier	${}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,t\right\rangle }$	${}\mathbb {R} ^{n}$	${}{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,t\right\rangle }f(t)dt$
Laplace	${}e^{-ut}$	${}\mathbb {R} _{+}$	${}\int _{0}^{\infty }e^{-ut}f(t)dt$
Mellin	${}t^{u-1}$	${}\mathbb {R} _{+}$	${}\int _{0}^{\infty }t^{u-1}f(t)dt$

Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der ${}\Gamma$ -Funktion vor, es ist

{}\Gamma (u)=\operatorname {Fak} \,(u-1):=\int _{0}^{\infty }t^{u-1}e^{-t}\,dt\,.

Hier ist also ${}f(t)=e^{-t}$ .

Definition

Zu einer integrierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ nennt man die Funktion

{\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} },

die durch

{}{\hat {f}}({\mathfrak {u}}):={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\,

definiert ist, die Fourier-Transformation von ${}f$ .

Hier ist also ${}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,t\right\rangle }$ der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.

Lemma

Es sei ${}(M,\mu )$ ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum ${}M\times M$ und sei

K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }

ein beschränkter messbarer Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_{K}\colon L^{2}(M)\longrightarrow L^{2}(M),\,f\longmapsto T_{K}(f),$

mit

${}(T_{K}(f))(u)=\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)\,$

eine stetiger linearer Operator.

Beweis

Es sei ${}K(u,t)\leq S$ eine Schranke. Die Funktion ${}K(u,t)f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt