Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 27

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Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.


Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

wobei eine lineare Abbildung und ein Vektor ist, heißt affin-linear.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren genau eine affin-lineare Abbildung

gibt mit und .


Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

mit und .


Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

deren Graph durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe

Sei ein Intervall und seien zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei und sei für jedes eine konvergente Folge

in gegeben, deren Limes mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder kompakten Kreisscheibe gleichmäßig gegen

konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

differenzierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei offen und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.



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