- Aufwärmaufgaben
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
für jedes
.
Zeige, dass die
reelle Betragsfunktion
-
im Nullpunkt nicht
differenzierbar
ist.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.
Bestimme die
affin-lineare Abbildung
-
mit
und
.
Bestimme die
affin-lineare Abbildung
-
deren
Graph
durch die beiden Punkte
und
verläuft.
Es sei
und seien
-
zwei
-mal
differenzierbare Funktionen.
Zeige, dass
-

gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Sei
und sei für jedes
eine
konvergente
Folge
-
in
gegeben, deren
Limes
mit
bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge
von Polynomen vom Grad
, die durch
-

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder
kompakten
Kreisscheibe
gleichmäßig
gegen
-

konvergiert.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
wobei
die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Bestimme, ob die
komplexe Konjugation
-
differenzierbar
ist oder nicht.
Sei
offen
und seien
-
differenzierbare Funktionen.
Beweise die Formel
-
Es sei
ein
Polynom,
und
. Zeige, dass
genau dann ein Vielfaches von
ist, wenn
eine
Nullstelle
sämtlicher
Ableitungen
ist.
Es sei
-
eine
rationale Funktion.
Zeige, dass
genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
(höhere)
Ableitung
mit
gibt.