Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},$

 für jedes ${}q\in \mathbb {Q}$.

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$ und ${}g(y)=y^{2}-y+2$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ genau dann einen Grad ${}\leq d$ besitzt (oder ${}P=0$ ist), wenn die ${}(d+1)$-te Ableitung von ${}P$ das Nullpolynom ist.

Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\alpha \colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto \alpha (v)=\varphi (v)+w,$

wobei ${}\varphi$ eine lineare Abbildung und ${}w\in W$ ein Vektor ist, heißt affin-linear.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}W$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren ${}u,v\in W$ genau eine affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon K\longrightarrow W$

gibt mit ${}\alpha (0)=u$ und ${}\alpha (1)=v$.

Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

mit ${}\alpha (0)=(2,3,4)$ und ${}\alpha (1)=(5,-2,-1)$.

Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Graph durch die beiden Punkte ${}(-2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes ${}i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge

${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${}c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad ${}\leq d$, die durch

${}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,r\right)$ gleichmäßig gegen

${}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,$

konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$

wobei ${}D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$

differenzierbar ist oder nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${}F^{(n)}=0$ gibt.