Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Es sei eine Menge und es seien

die zu gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen die konstante Funktion

konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum . Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe *

Sei eine Menge und seien

und

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

gleichmäßig konvergent ist.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten auf einem reellen Intervall die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?


Aufgabe

Zu betrachten wir die Funktionen

die durch

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um „verschobenen“ Potenzreihe

übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf nicht gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe

Sei eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes die Gleichheit


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Folge für punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius besitzt, und dass die Reihe noch für alle , , konvergiert.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei und

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf eingeschränkte Folge gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine Potenzreihe, die für ein auf konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann für alle ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt .



<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)