Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiert. Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$

die zu ${}x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow X$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum ${}X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}T$ eine Menge und seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

$f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),$

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten auf einem reellen Intervall ${}[a,b]$ die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die Funktionen

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),$

die durch

${}f_{n}(x)={\begin{cases}0,{\text{ für }}x\leq 0,\\nx{\text{ für }}0<x\leq 1/n,\\2-nx{\text{ für }}1/n<x\leq 2/n,\\0,{\text{ für }}x>2/n\,.\end{cases}}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass ${}M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um ${}a\in {\mathbb {C} }$ „verschobenen“ Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf ${}{\mathbb {C} }$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}b^{x}=\exp \left(x\cdot \ln b\right)\,.$

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^{3}+2X^{2}-3X+4$

in der neuen Variablen ${}U=X+2$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Funktionenfolge

$f_{n}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n}.$

Zeige, dass diese Folge für ${}I=\mathbb {R} _{\geq 0}$ punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen

$I=\mathbb {R} _{\geq 0},\,\mathbb {R} _{+},\,[1,\infty ],\,[{\frac {1}{5}},5],\,]0,1],\,[0,1].$

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}.$

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius ${}1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle ${}x\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {x}\vert =1$, konvergiert.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}(Y,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq Y$ eine Teilmenge. Es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$ und

$g_{n}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf ${}T$ eingeschränkte Folge ${}f_{n}=g_{n}{|}_{T}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

eine Potenzreihe, die für ein ${}\epsilon >0$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten ${}d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt ${}1$.