Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}$

definiert ist. Untersuche ${}f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.$

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.$

Finde die Punkte ${}a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in ${}a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen ${}-3$ und ${}3$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 28.7 aus.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 28.9).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}$

im Punkt ${}-1$.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und es sei

${}D(I,\mathbb {R} )={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ${}D(I,\mathbb {R} )$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

$D(I,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f',$

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.$

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

${}f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,$

(mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$, ${}c\neq 0$), keine lokalen Extrema besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+5x-5}{2x^{3}-x^{2}-4x+3}}$

im Punkt ${}1$.