Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Aufgabe

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.


Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 28.7 aus.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel *****).


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Es sei ein Intervall und es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit ), keine lokalen Extrema besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



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