Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 30

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Aufwärmaufgaben
Auch weiterhin viel Spaß im Mathematik-Studium!


Aufgabe

Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.


Aufgabe

Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.


Aufgabe

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass für alle ist.


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Nullpunkt.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .


Aufgabe

Es sei ein Polynom und

Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form

mit einem weiteren Polynom ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass für jedes die -te Ableitung die Eigenschaft

besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Die folgende Aufgabe setzt

Aufgabe 28.9 voraus.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zum Grad der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei , , vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

gibt mit


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.



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