Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 30

Aufwärmaufgaben

Auch weiterhin viel Spaß im Mathematik-Studium!

Aufgabe

Bestimme direkt, für welche  ${}n\in \mathbb {N}$  die Potenzfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.

Aufgabe

Bestimme die ${}1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$

Zeige, dass  ${}f(x)=\exp x$  für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  ist.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},$

im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$

im Entwicklungspunkt  ${}a=3$. 

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe

Es sei  ${}p\in \mathbb {R} [Y]$  ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes  ${}n\in \mathbb {N}$  die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe

Es sei  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei  ${}z\in {\mathbb {C} }$  eine Nullstelle von ${}P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Die folgende Aufgabe setzt

Aufgabe 28.9 voraus.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right),$

im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ${}\epsilon$, ${}0<\epsilon \leq {\frac {1}{3}}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit

$f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq 0\,,\\1{\text{ für }}x\geq \epsilon {\text{ und }}x\leq 1-\epsilon \,,\\0{\text{ für }}x\geq 1\,.\end{cases}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.