Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 29

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe

Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe

Untersuche die Funktionenfolge

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar? Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also ?


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 29.1.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 25.11  (4).


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

Was ist die Definitionsmenge des Tangens?


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Aufgrund von Korollar 29.10 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.


Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

und heißt Arcus-Sinus.


Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

und heißt Arcus-Kosinus.


Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arcus-Sinus und Arcus-Kosinus.


Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.


Die für durch

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


Die für durch

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)


Aufgabe




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , und

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

unendlich viele isolierte lokale Maxima und unendlich viele isolierte lokale Minima besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass es keine stetige Funktion

gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert ist.



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