Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 30

Zu einer konvergenten Potenzreihe ${}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}$ bilden die Teilpolynome ${}\sum _{k=0}^{n}c_{k}(x-a)^{k}$ polynomiale Approximationen für die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$. Ferner ist ${}f$ in ${}a$ beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen lassen sich aus der Potenzreihe ablesen. Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome (oder eine Potenzreihe) erhalten kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Entwicklung.

Die Taylor-Formel

Brook Taylor (1685-1731)

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine ${}n$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in U$. Dann heißt

${}T_{a,n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Satz

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}x\in I$ ein ${}c\in I$ mit

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Dabei kann ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}x$ gewählt werden.

Beweis

Es sei ${}x\neq a$ fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu ${}r\in \mathbb {R}$ den Ausdruck

$g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,$

den wir als Funktion in ${}u\in I$ auffassen. Es ist ${}g_{r}(x)=0$ und wir wählen ${}r$ derart, dass ${}g_{r}(a)=0$ ist, was möglich ist. Die Funktion

${}g(u):=g_{r}(u)\,$

ist auf dem Teilintervall ${}{]a,x[}\subseteq I$ (bzw. $]x,a[$, falls ${}x<a$ ist.) differenzierbar (nach ${}u$) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert ${}0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein ${}c\in {]a,x[}$ mit ${}g'(c)=0$.

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach ${}u$)

${\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.$

Daher heben sich in der Ableitung von ${}g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich

${}g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.$

Aus der Gleichung

${}0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,$

folgt ${}r=f^{(n+1)}(c)$. Wenn wir dies und ${}u=a$ in die Anfangsgleichung einsetzen und ${}g_{r}(a)=0$ ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, ${}a\in I$ ein innerer Punkt und ${}B:={\max {\left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,c\in I\right)}}$.

Dann gilt zwischen ${}f(x)$ und dem ${}n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

${}\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$

Beweis

Die Zahl ${}B$ existiert aufgrund von Satz 22.7, da nach Voraussetzung die ${}(n+1)$-te Ableitung ${}f^{(n+1)}$ stetig auf dem kompakten Intervall ${}I$ ist. Die Aussage folgt somit direkt aus Satz 30.2.

$\Box$

Satz

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

$f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.
2. Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
3. Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Beweis

Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu

${}f(x)-f(a)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\,$

mit ${}c$ (abhängig von ${}x$) zwischen ${}a$ und ${}x$. Je nachdem, ob ${}f^{(n+1)}(a)>0$ oder ${}f^{(n+1)}(a)<0$ ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der ${}(n+1)$-ten Ableitung) ${}f^{(n+1)}(x)>0$ bzw. ${}f^{(n+1)}(x)<0$ für ${}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ für ein geeignetes ${}\epsilon >0$. Für diese ${}x$ ist auch ${}c\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]$, sodass das Vorzeichen von ${}f^{(n+1)}(c)$ vom Vorzeichen von ${}f^{(n+1)}(a)$ abhängt.
Bei ${}n$ gerade ist ${}n+1$ ungerade und daher wechselt ${}(x-a)^{n+1}$ das Vorzeichen bei ${}x=a$ (bei ${}x<a$ ist das Vorzeichen negativ und bei ${}x>a$ ist es positiv). Da das Vorzeichen von ${}f^{(n+1)}(c)$ sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von ${}f(x)-f(a)$. Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun ${}n$ ungerade. Dann ist ${}n+1$ gerade, sodass ${}(x-a)^{n+1}>0$ für alle ${}x\neq a$ in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$, dass ${}f(x)>f(a)$ ist und in ${}a$ ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$, dass ${}f(x)<f(a)$ ist und in ${}a$ ein isoliertes Maximum vorliegt.

$\Box$

Die Taylor-Reihe

Die reelle Sinusfunktion zusammen mit verschiedenen approximierenden Taylor-Polynomen (von ungeradem Grad).

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Teilmenge,

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine ${}\infty$-oft differenzierbare Funktion und ${}a\in U$. Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Satz

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$ und

$f\colon U{\left(a,r\right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

die dadurch definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Satz 29.1 durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt ${}a$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ in ${}a$ den Wert ${}c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Satz 29.1.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

mit

${}f(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\e^{-{\frac {1}{x}}},\,{\text{ falls }}x>0\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft differenzierbar ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von ${}e^{-{\frac {1}{x}}}$ (und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt) die Form ${}p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}$ mit gewissen Polynomen ${}p\in \mathbb {R} [Z]$ besitzen und dass davon der Limes für ${}x\rightarrow 0,\,x>0$ stets ${}0$ ist (siehe Aufgabe 30.7 und Aufgabe 30.8.). Daher ist der (rechtsseitige) Limes für alle Ableitungen gleich ${}0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert ${}0$ und daher ist die Taylor-Reihe im Nullpunkt die Nullreihe. Die Funktion ${}f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die Nullfunktion, da ${}e^{-{\frac {1}{x}}}>0$ ist.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Wir beenden diese Vorlesung mit einem Beweis für den sogenannten Fundamentalsatz der Algebra. Er wurde erstmals 1799 von Gauß bewiesen.

Satz

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

Beweis

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Korollar 22.9 gibt es ein ${}z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ${}0$ ist. Wir nehmen also an, dass ${}\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein ${}z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen ${}z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle ${}0$ angenommen wird, und durch Division durch ${}P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert ${}1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

${}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Korollar 29.13 gibt es ein ${}\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit ${}\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen ${}z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen ${}w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ${}Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Satz 22.7 gibt es ein ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle ${}w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles ${}w$ mit ${}0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

$\Box$

Fußnoten

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