Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 31

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über zur Treppenfunktion, die durch

gegeben ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Es seien

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Treppenfunktionen sind.


Aufgabe

Es sei

eine Treppenfunktion und

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.


Aufgabe

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen  mit und eine Folge von Treppenfunktionen  mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass

gilt.


Aufgabe

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es eine Unterteilung gibt derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Ist für alle , so ist .
  2. Ist für alle , so ist .
  3. Es ist .
  4. Für ist .


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Bringe die Begriffe Steuersatz und Grenzsteuersatz mit Treppenfunktionen und Treppenintegralen in Verbindung.

Steuertabelle 2009 single zve 55.jpg




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

und einer Treppenfunktion

derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.


Aufgabe (8 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

Zeige, dass Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion mit der Eigenschaft gibt, dass für alle ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.



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