Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung
gilt.
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Bestimme das totale Differential für die Abbildung
Es seien , und endlichdimensionale - Vektorräume.
- Es seien
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-linear ist.
- Es seien
und
im Punkt
differenzierbare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien . Bestimme das totale Differential für die Abbildung
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei komplexe Vektorräume, eine offene Teilmenge und
eine in (komplex) differenzierbare Abbildung.
a) Zeige, dass auch reell differenzierbar ist, wenn man und als reelle Vektorräume auffasst.
b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung
in einem beliebigen Punkt bezüglich der reellen Basis .
c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung
die überall reell differenzierbar ist, aber nirgendwo komplex differenzierbar.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei endlichdimensionale - Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung
Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum ebenfalls ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.
- Ist die Evaluationsabbildung linear?
- Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 44.5 auf das Diagramm
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