Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Probeklausur 1

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Aufgabe * (3 Punkte)


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Es sei und es sei
eine rationale Funktion in

und in . Man gebe direkt (ohne Bezug auf Standardsubstitutionen der Vorlesung) eine geeignete Substitution an, mit der die Berechnung der Stammfunktion zu auf die Berechnung einer Stammfunktion einer rationalen Funktion in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

b) Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (mit )


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei und es sei

die zugehörige Integralfunktion. Zeige, dass dann differenzierbar

ist und dass
für alle gilt.


Aufgabe * (8 (4+1+3) Punkte)

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

b) Bestimme eine Stammfunktion von

c) Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

a) Sei

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

existiert. Zeige, dass

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.


Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)

a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


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