Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 65/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in oder in auffassen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Mengen und sei eine Teilmenge. Zu sei . Zeige, dass die Faser der Hintereinanderschaltung
über ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum und eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
eine - Algebra auf ist (man spricht von der induzierten -Algebra).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von seien mit der durch induzierten - Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- ist eine messbare Teilmenge von .
- Es gibt ein derart, dass messbar ist.
- Für alle ist messbar.
- Es gibt ein derart, dass messbar in ist.
- Für alle ist messbar in .
Aufgabe Aufgabe 65.4 ändern
Es seien Messräume und es seien und messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es für jedes eine Familie , , von positiven reellen Zahlen mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und zwei topologische Räume mit abzählbarer Basis der Topologie und mit den zugehörigen - Algebren der Borelmengen und . Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum mit dem Produkt von und übereinstimmt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Präring auf , der die Intervalle , , enthalte, und es sei ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von den Wert besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Begründe die einzelnen Abschätzungen in der Abschätzungskette im Beweis zu Lemma 65.3.
Gehe dabei folgendermaßen vor.
- Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
[[/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig). - Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
{{:Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Begründungsfenster}}
ein.
- Es erscheint die Abschätzungskette. Wenn Sie auf eines der Größergleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
- Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
[[Ihr Benutzername/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
hinschreiben.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge durch
eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Mengen mit darauf erklärten - Algebren. Zeige, dass die Produkt-- Algebra die kleinste -Algebra auf ist, für die alle Projektionen messbar sind.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe unter den Inklusionsabbildungen
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