Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 87/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xdx\wedge dy+xy^{2}zdy\wedge dz+xe^{y}dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform ${}\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

$\omega =xy^{2}z^{3}dx+xyzdy+x^{3}yz^{4}dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xy^{2}dx\wedge dy+(x^{3}-y^{2}z^{4})dy\wedge dz+\sin(xy)dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}$ Differentialformen auf ${}U$, wobei ${}\omega _{i}$ eine ${}k_{i}$- Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für

$d(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{r}).$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Differentialform

${}\omega ={\left(2xy+3x^{2}-ye^{xy}\right)}dx+{\left(x^{2}-xe^{xy}+8y\right)}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 87.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.