Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Restklassenräume/Textabschnitt

Restklassenräume

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum.

Dann ist die durch

$v\sim w,\text{ falls }v-w\in U,$

definierte Relation eine Äquivalenzrelation auf $V$.

Beweis

Wir gehen die Bedingungen einer Äquivalenzrelation durch. Die Reflexivität folgt aus  $v-v=0\in U$,  die Symmetrie folgt aus  $w-v=-(v-w)\in U$,  die Transitivität ergibt sich so: Aus  $u-v\in U$  und  $v-w\in U$  folgt  $u-w=(u-v)+(v-w)\in U$. 

$◻$

Wir können auf diese Äquivalenzrelation die allgemeinen Ergebnisse aus der zweiten Volesung des ersten Teils anwenden und erhalten eine surjektive Quotientenabbildung (oder Identifizierungsabbildung oder kanonische Projektion)

$q:V⟶V/\sim ,v⟼q(v)=[v].$

Statt $V/\sim$ werden wir $V/U$ schreiben. Das Besondere an dieser Situation ist, dass diese Quotientenmenge selbst ein Vektorraum ist, und dass die kanonische Abbildung linear ist.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Es sei $V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch $U$ definierten Äquivalenzrelation auf $V$ und es sei

$q:V⟶V/U,v⟼[v],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $K$-Vektorraumstruktur auf $V/U$ derart, dass $q$ eine $K$-lineare Abbildung ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einer linearen Abbildung werden soll, muss die Addition durch

$[v]+[w]=[v+w]$

und die Skalarmultiplikation durch

$\lambda [v]=[\lambda v]$

gegeben sein. Insbesondere kann es also nur eine Vektorraumstruktur mit der gewünschten Eigenschaft geben, und wir müssen zeigen, dass durch diese Vorschriften wohldefinierte Operationen auf $V/U$ definiert sind, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. D.h. wir haben für $[v]=[v^{\prime }]$ und $[w]=[w^{\prime }]$ zu zeigen, dass  $[v+w]=[v^{\prime }+w^{\prime }]$  ist. Nach Voraussetzung können wir $v^{\prime }=v+u$ und $w^{\prime }=w+u^{\prime }$ mit  $u,u^{\prime }\in U$  schreiben. Damit ist

$v^{\prime }+w^{\prime }=v+w+u+u^{\prime }$

und dies ist wegen  $u+u^{\prime }\in U$  äquivalent zu $v+w$. Zur Skalarmultiplikation sei wieder  $v^{\prime }=v+u$  mit  $u\in U$.  Dann ist

$\lambda v^{\prime }=\lambda (v+u)=\lambda v+\lambda u,$

und das ist äquivalent zu $\lambda v$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $V/U$ und der Surjektivität der Abbildung folgt, dass eine Vektorraumstruktur vorliegt und dass die Abbildung linear ist.

$◻$

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge $V/U$ der Äquivalenzklassen mit der in Lemma RKR.1 bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von $V$ modulo $U$.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V,Q$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $\phi :V\to W$ eine lineare Abbildung und $\psi :V\to Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

$\mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\tilde{\phi }:Q⟶W$

derart, dass  $\phi =\tilde{\phi }\circ \psi$  ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

$\begin{array}{cccc}V& \stackrel{\phi }{⟶}& W& \\ \psi \downarrow & \nearrow \tilde{\phi }& \\ Q& & & & \end{array}$

ist kommutativ.

Beweis

Für jedes Element  $u\in Q$  gibt es mindestens ein $v\in V$ mit $\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss  $\tilde{\phi }(u)=\phi (v)$  gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\phi }$ geben kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  $v,v^{\prime }\in V$  zwei Urbilder von $u$. Dann ist

$v^{\prime }-v\in \mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

und daher ist  $\phi (v)=\phi (v^{\prime })$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien  $u,u^{\prime }\in Q$  und seien  $v,v^{\prime }\in V$  Urbilder davon. Dann ist $v+v^{\prime }$ ein Urbild von $u+u^{\prime }$ und daher ist

$\tilde{\phi }(u+u^{\prime })=\phi (v+v^{\prime })=\phi (v)+\phi (v^{\prime })=\tilde{\phi }(u)+\tilde{\phi }(u^{\prime }).$

D.h. $\tilde{\phi }$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei  $u\in Q$  mit einem Urbild  $v\in V$  und sei  $\lambda \in K$.  Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist

$\tilde{\phi }(\lambda u)=\phi (\lambda v)=\lambda \phi (v)=\lambda \tilde{\phi }(u),$

also ist $\tilde{\phi }$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

$◻$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung $\tilde{\phi }$ heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei

$\phi :V⟶W$

eine surjektive lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

$\tilde{\phi }:V/\mathrm{kern}\phi ⟶W.$

Beweis

Wir wenden Satz RKR.4 auf  $Q=V/\mathrm{kern}\phi$  und die kanonische Projektion $q:V\to V/\mathrm{kern}\phi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

$\tilde{\phi }:V/\mathrm{kern}\phi ⟶W$

mit  $\phi =\tilde{\phi }\circ q$,  die surjektiv ist. Sei $[x]\in V/\mathrm{kern}\phi$ und $[x]\in \mathrm{kern}\tilde{\phi }$. Dann ist

$\tilde{\phi }([x])=\phi (x)=0,$

also  $x\in \mathrm{kern}\phi$.  Damit ist  $[x]=0$  in $V/\mathrm{kern}\phi$, d.h. der Kern von $\tilde{\phi }$ ist trivial und nach Lemma 12.7 ist $\tilde{\phi }$ auch injektiv.

$◻$

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$V\stackrel{q}{⟶}V/\mathrm{kern}\phi \stackrel{\theta }{⟶}\mathrm{bild}\phi \stackrel{\iota }{\hookrightarrow }W,$

wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und $i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in $W$ ist.

Beweis

Dies folgt aus Korollar RKR.5, angewendet auf die surjektive lineare Abbildung

$V⟶\mathrm{bild}\phi .$

$◻$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild $=$ Urbild modulo Kern.

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