Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/31/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 1 3 3 3 3 4 6 6 3 3 4 4 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Der Betrag einer reellen Zahl.
  3. Die eulersche Zahl .
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge cm und mit einem Durchmesser von cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke mm.

  1. Wer verwendet mehr Butter?
  2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
  3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?


Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.


Aufgabe * (1 Punkt)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring über einem Körper die invertierbaren Elemente, also Polynome , für die es ein weiteres Polynom mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reelle Folge. Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
  2. Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
  3. Bestimme die Extrema der Funktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zu

auf .


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.