Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 2 9 2 4 5 2 4 2 3 4 3 4 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Disjunktheit von Mengen und .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Der Betrag einer reellen Zahl.
  5. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  6. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .


Lösung

  1. Die Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  4. Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
  5. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  6. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  2. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .


Lösung

  1. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
  2. Es seien und reelle Folgen. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  3. Für sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist stetig im Punkt .
    2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Lösung

  1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
  2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
  3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.


Aufgabe (2 Punkte)

Ein Flugzeug soll von Osnabrück aus zu einem Zielort auf der Südhalbkugel fliegen. Kann es kürzer sein, in Richtung Norden zu fliegen?


Lösung Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von cm und die Flasche hat einen Durchmesser von cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?


Lösung

Der Wasserinhalt in der Flasche ist

Diese Menge muss durch die Flaschenöffnung eingegangen sein, so dass sich die Bedingung

ergibt, wobei die Regenmengenhöhe ist. Daher ist


Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .

  1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
  2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
  3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal?
  4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
  5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?


Lösung

  1. Graphzweischwimmer.png





  2. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er ist also Meter hin und Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich Meter vom Start entfernt. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er befindet sich also Meter vom Start entfernt.
  3. Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer das erste Mal zurückschwimmt und noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz

    Dies führt auf

    also

  4. Nach Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), hat dabei Meter zurückgelegt, nur Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss noch Meter schwimmen, wobei er noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf Begegnungen.
  5. Schwimmer überrundet Schwimmer dreimal, nämlich am Startpunkt nach , nach und nach .


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png








  2. 4GeradenKeinSchnittpunkt.png








  3. 4Geraden1Schnittpunkt.png








  4. 4Geraden6Schnittpunkte.png









Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Lösung

Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist

Rechts steht ebenfalls

Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist

Also gilt die Aussage für alle .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu .

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Lösung

a) Es ist

b) Das inverse Element zu ist , also ist

c) Der Abstand von zum Nullpunkt ist , daher ist der Abstand von zum Nullpunkt gleich .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
  2. Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
  3. Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
  4. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

injektiv ist.


Lösung Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Injektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist insgesamt


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Lösung

Es seien und die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

angenommen. Wir setzen

und

Dann sind die -Umgebungen und disjunkt. Zu diesem gibt es ein (gemeinsames) derart, dass für alle die Folgenglieder und die Folgenglieder liegen. Somit ergibt sich

ein Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.10 (Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)) nicht konvergent sein.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Lösung

Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.