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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 5 4 2 5 3 4 6 3 5 4 4 3 3 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung
  2. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  3. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  4. Die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern und mit den Vierergeschwindigkeiten und in einem Minkowski-Raum .
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Formel für die Bogenlänge des Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion
  2. Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  3. Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.

  1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
  2. Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
  3. Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Man schreibe als

    mit geeigneten Termen , wobei und nicht von und abhängen dürfen.

  2. Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass in einem beliebigen Punkt total differenzierbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

(für ein geeignetes ) mit und mit

gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

auf der Ellipse


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge haben, und die durch den inneren Winkel an der Spitze gegeben sind.

  1. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von .
  2. Für welche Winkel ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

um die -Achse rotieren lässt.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  2. Bestimme die Jacobi-Determinante von in jedem Punkt .
  3. Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter . Verwende, dass bijektiv ist.