Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 3 3 5 5 4 1 5 8 4 4 5 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
  3. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei

    ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).

  4. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  5. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  6. Ein lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
  2. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  3. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Begründe, ob die Abbildung

injektiv ist oder nicht.


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Ist surjektiv?
  2. Ist injektiv?
  3. Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter .
  4. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  5. Bestimme die kritischen Punkte von .


Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt Grad beträgt.

  1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
  2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine bijektive lineare Abbildung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.