Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/12/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 4 | 1 | 5 | 8 | 4 | 4 | 5 | 5 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
- Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
- Eine
Lösung
zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei
ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).
- Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
- Die
Richtungsableitung
einer Abbildung
in einem Punkt in Richtung eines Vektors .
- Ein lokales Maximum einer Funktion
auf einem metrischen Raum in einem Punkt .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
- Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
- Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge .
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
Aufgabe * (3 Punkte)
Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Von einer Bewegung
sei der Geschwindigkeitsverlauf
bekannt. Ferner sei
bekannt. Bestimme .
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
in einem Punkt .
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.
Aufgabe * (1 Punkt)
Begründe, ob die Abbildung
injektiv ist oder nicht.
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter .
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion.
a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion
auf den Graphen
im Punkt ein lokales Maximum besitzt.
b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?
c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen
und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)
Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt Grad beträgt.
- Berechne die Grundseite des Dreiecks.
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine bijektive lineare Abbildung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.