Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 5 3 3 4 1 3 2 6 5 12 5 3 5 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum .
  2. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  3. Ein Beobachtervektor in einem Minkowskiraum .
  4. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in Richtung , wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit offen und .

  5. Das Taylor-Polynom im Punkt vom Grad einer -fach differenzierbaren Abbildung
  6. Ein volumentreuer Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
  2. Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der Kurve


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Es sei eine stetige Funktion. Finde eine nichttriviale Lösung für das lineare Differentialgleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Betrachte die Abbildung

a) Erstelle die Jacobi-Matrix von .

b) Bestimme die regulären Punkte von .

c) Zeige, dass die Bedingung

erfüllt.

d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe * (12 (4+4+4) Punkte)

Es soll eine (quaderförmige) Schachtel mit den Seitenlängen angefertigt werden, deren Inhalt gleich

sein soll.

a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch (also extremal sein könnte) wird?

b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?

c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche (vorne und hinten) mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten den Kreissektor aus dem Einheitskreis zum Winkel Grad, der an der -Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von .