Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 23/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Treppenintegral über ${}[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

{}f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,

gegeben ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$ , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]

eine Treppenfunktion und

g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]

und einer Treppenfunktion

g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}

derart, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{0}^{1}t\,dt

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{1}^{2}t^{3}\,dt

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe * Aufgabe 23.8 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$ . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}f$ Riemann-integrierbar ist und dass

{}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,

gilt.

Aufgabe Aufgabe 23.9 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe Aufgabe 23.10 ändern

Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$ , so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$ .
Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$ , so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$ .
Es ist ${}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$ .
Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt

gilt.

Aufgabe Aufgabe 23.12 ändern

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}fg$ Riemann-integrierbar ist.