Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion

in den Punkten und


Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine gerade Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Zeige, dass auch im Punkt differenzierbar ist und dass die Beziehung

gilt.


Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


für jedes .


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Aufgabe

Bestimme zu einem Polynom

die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.


Aufgabe

Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt differenzierbare Funktion in diesem Punkt insbesondere stetig ist.


Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.


Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion in jedem Punkt differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.

Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe *

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe *

Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die affin-lineare Abbildung

deren Graph durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung gerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Teilmenge und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe bis 16. Januar (unabhängig von Deckelregel).

Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine streng wachsende stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.



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