Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 15

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Aufgabe

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.


Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.


Aufgabe

Die Stadt soll mit den beiden Städten und mit durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der -Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.


Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?


Aufgabe

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ein Punkt und es gelte

Zeige, dass


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Es sei und

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit gibt.


Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ein Punkt mit . Zeige, dass es offene Intervalle mit und derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion bijektiv ist.


Aufgabe


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 15.11).


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen cm und cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit ), keine lokalen Extrema besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



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