Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

   folgt.

3. Zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$

   folgt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

stetig ist.

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte ${}100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen ${}99$ und ${}101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=2x^{3}-4x^{2}+x-6\,$

im Punkt ${}a=1$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{10}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit

${}f(a)>g(a)\,.$

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

${}f(x)>g(x)\,$

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktion ${}f$ ist durch ihre Werte auf ${}\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.
2. Der Funktionswert ${}f(a)$ ist durch die Funktionswerte ${}f(x)$, ${}x\neq a$, festgelegt.
3. Wenn für alle ${}x<a$ die Abschätzung

   ${}f(x)\leq c\,$

   gilt, so gilt auch

   ${}f(a)\leq c\,.$

Aufgabe

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion

$f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass ${}f$ auf jedem Intervall der Form ${}[0,\delta ]$ mit ${}\delta >0$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 16.25.

Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

$x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3$

für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Aufgabe

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch ${}x_{0}=1$ und

${}x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,$

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Lemma 10.6 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {2x^{7}-3x\vert {6x^{3}-11}\vert }{\vert {3x-5}\vert +\vert {4x^{3}-5x+1}\vert }},$

stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion ${}f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ und eine absolut konvergente reelle Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ mit ${}a_{k}\geq 0$ derart, dass die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }f(a_{k})$ nicht konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ stetig im Punkt ${}a$, es gelte ${}g(a)=f(a)=h(a)$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ stetig ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x-1}{x^{2}-1}}$

im Punkt ${}a=1$.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Tipp: Dies wird ähnlich wie das Folgenkriterium für die Stetigkeit bewiesen.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$

die Menge der Stammbrüche und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}D=T\cup \{0\}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge konvergiert gegen ${}b$.
2. Die Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   besitzt den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,f(x)=b$.

3. Die Funktion

   ${\tilde {f}}\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}{\tilde {f}}{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   und ${}{\tilde {f}}(0)=b$ ist stetig.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=x^{3}+5x^{2}-3x+2\,$

im Punkt ${}a=3$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{100}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ die durch

${}f(x)={\begin{cases}1{\text{ für }}x\leq -1\,,\\x^{2}{\text{ für }}-1<x<2\,,\\-2x+7{\text{ für }}x\geq 2\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

${}b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,$

definierten Folge, wobei

${}a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$

im Punkt ${}a=-1$.