Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 14
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
in den Punkten und .
Aufgabe
Aufgabe *
Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion
in einem beliebigen Punkt .
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei eine gerade Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Zeige, dass auch im Punkt differenzierbar ist und dass die Beziehung
gilt.
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.
Aufgabe
Bestimme zu einem Polynom
die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.
Aufgabe
Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt differenzierbare Funktion in diesem Punkt insbesondere stetig ist.
Aufgabe *
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.
Aufgabe
Zeige, dass die Exponentialfunktion in jedem Punkt differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.
Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.
Aufgabe
Bestimme zur Exponentialfunktion die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Aufgabe *
Es seien
differenzierbare Funktionen und
mit . Zeige, dass man die Ableitung von als einen Bruch mit im Nenner schreiben kann.
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Aufgabe *
Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .
- Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.
Aufgabe *
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei
eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
Also ist
Aufgabe *
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung gerade ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Funktion
wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)
Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.
- Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.
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