Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 14
- Übungsaufgaben
Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
in den Punkten und .
Es sei eine gerade Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Zeige, dass auch im Punkt differenzierbar ist und dass die Beziehung
gilt.
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
Bestimme zu einem Polynom
die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.
Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt differenzierbare Funktion in diesem Punkt insbesondere stetig ist.
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.
Zeige, dass die Exponentialfunktion in jedem Punkt differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.
Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.
Bestimme zur Exponentialfunktion die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.
Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
Es seien
differenzierbare Funktionen und
mit . Zeige, dass man die Ableitung von als einen Bruch mit im Nenner schreiben kann.
Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.
Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .
- Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.
Es seien
zwei differenzierbare Funktionen und sei
a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.
b) Es sei nun
Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).
Es sei
eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
Also ist
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung gerade ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)
Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.
- Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
- Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.
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