Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom, ${}a\in \mathbb {R}$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor ,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ gerade}},\\\lfloor x\rfloor -x+1,{\text{ falls }}\lfloor x\rfloor {\text{ ungerade}},\end{cases}}$

definiert ist. Untersuche ${}f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.$

Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.$

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+2.$

Finde die Punkte ${}a\in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in ${}a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen ${}-3$ und ${}3$ ist.

Aufgabe

Die Stadt ${}S=(0,0)$ soll mit den beiden Städten ${}T=(a,b)$ und ${}U=(a,-b)$ mit ${}a\geq 0,b>0$ durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der ${}x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche ${}1000m^{2}$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$

1. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
2. Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
3. Bestimme die Extrema der Funktion.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt und es gelte

$f(a)=g(a){\text{ und }}f'(x)=g'(x){\text{ für alle }}x.$

Zeige, dass

$f(x)=g(x){\text{ für alle }}x{\text{ gilt}}.$

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Es gelte

$f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.$

Zeige, dass

$f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte ${}P\neq Q$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung ${}f'$ einen Schnittpunkt mit der durch ${}y=1$ definierten Geraden besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe *

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte ${}f'(a)=0$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)>0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn ${}f^{\prime \prime }(a)<0$ ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und

$F\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit ${}F^{(n)}=0$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine ${}n$-fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die ${}n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass ${}f$ maximal ${}n$ Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {2x-3}{5x^{2}-3x+4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=x^{3}+x-1\,.$

a) Zeige, dass die Funktion ${}f$ im reellen Intervall ${}[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${}q\in [0,1]$ derart an, dass ${}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$

nach unten beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ${}a\in I$ ein Punkt mit ${}f'(a)\neq 0$. Zeige, dass es offene Intervalle ${}J\subseteq I$ mit ${}a\in J$ und ${}J'\subseteq \mathbb {R}$ derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion ${}f\colon J\rightarrow J'$ bijektiv ist.

Aufgabe

Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

${\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}$

im Punkt ${}1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 15.12).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{3}-2x^{2}+x+4}{x^{2}+x}}$

im Punkt ${}-1$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\sqrt {1-x}}{\sqrt[{3}]{1-x^{2}}}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen ${}20$ cm und ${}30$ cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {3x^{2}-2x+1}{x-4}},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

${}f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}\,$

(mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$, ${}c\neq 0$), keine lokalen Extrema besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}d\geq 1$. Es sei ${}m$ die Anzahl der lokalen Maxima von ${}f$ und ${}n$ die Anzahl der lokalen Minima von ${}f$. Zeige, dass bei ${}d$ ungerade ${}m=n$ und bei ${}d$ gerade ${}\vert {m-n}\vert =1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4}{2x^{3}-x^{2}-4x+3}}$

im Punkt ${}1$.