Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}\cdot \exp \left(x^{3}-4x\right).$

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f'=f{\text{ und }}f(0)=1.$

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1).

Aufgabe

Bestimme die ${}1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)(\cos x).$

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n}.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right).$

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}},$

streng wachsend ist.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe

Zeige, dass die reelle Tangensfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$]-\pi /2,\pi /2[\longrightarrow \mathbb {R}$

und die reelle Kotangensfunktion eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R}$

induziert.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion und

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe *

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
3. Bestimme das Bild von ${}f$.
4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
5. Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.$

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von ${}f$, ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f(x)$ und ebenso für die Ableitung ${}f'$.

Aufgabe

Skizziere die Funktion

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin {\frac {1}{x}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgabe *

Zu einem Startwert ${}x_{0}\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ sei eine Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}:=\sin x_{n}\,$

definiert. Entscheide, ob ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge

${}x_{n}:=\sin n\,$

nicht konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$

Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin x+\cos x.$

Aufgabe (5 Punkte)

Wir möchten ${}\pi /2$ möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe

${}\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}\,$

und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes (im Sinne von Verfahren 11.3) bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als ${}n$-te Approximation ${}y_{n}$ für ${}\pi /2$ die untere Intervallgrenze der ${}n$-ten Intervallhalbierung (des Ausgangsintervalls ${}[1,2]$) für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe ${}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$ zu verwenden (man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das die Folgenglieder ${}y_{n}$ berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
• Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
• Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ${}\neq 0$) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
• Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

(Wir behaupten nicht, dass diese Methode eine gegen ${}\pi /2$ konvergente Folge liefert).

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\ln x}{x-1}}$.