Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+3z^{2}-7z-4\,$

in der neuen Variablen ${}z-2$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}2$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion ${}f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ im Entwicklungspunkt ${}a=2$ der Ordnung ${}4$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ der rationalen Funktion

${}f(x)={\frac {3x^{2}-2x+5}{x-2}}\,$

im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x\cos x,$

im Nullpunkt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von ${}f$.

b) Skizziere ${}f$ für ${}x$ zwischen ${}-2\pi$ und ${}2\pi$.

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von ${}f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ von ${}f$ im Punkt ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zur Funktion

${}f(x)=x\cdot \sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a={\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu ${}n+1$ gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad ${}n$ zu einem Punkt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine im Punkt ${}a$ ${}n$-fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das ${}n$-te Taylor-Polynom zu ${}f$ im Punkt ${}a$, geschrieben in der verschobenen Variablen ${}x-a$, gleich dem ${}n$-ten Taylor-Polynom der Funktion ${}g(x)=f(x+a)$ im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ${}x$) ist.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ das ${}n$-te Taylor-Polynom von ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}b$ nicht aus dem ${}n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt ${}a$ bestimmen kann.

Aufgabe

Es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Polynome ${}n$-ten Grades und es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in \mathbb {R}$ Punkte und ${}n_{1},\ldots ,n_{k}\geq 1$ natürliche Zahlen mit

${}\sum _{j=1}^{k}n_{j}>n\,.$

Die Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ in den Punkten ${}a_{j}$ sollen bis einschließlich zur ${}{\left(n_{j}-1\right)}$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige ${}f=g$.

Man mache sich zuerst die Aussage bei ${}k=1$ und ${}n_{1}=n+1$ und bei ${}k=n+1$ und ${}n_{j}=1$ für alle ${}j$ klar.

Aufgabe

Es sei ${}f(x):={\frac {x^{2}-x+5}{x^{2}+3}}$. Bestimme ein Polynom ${}h$ vom Grad ${}\leq 3$, das in den beiden Punkten ${}x=0$ und ${}x=1$ die gleichen linearen Approximationen wie ${}f$ besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}f(x)=\sin x$. Bestimme Polynome ${}P,Q,R$ vom Grad ${}\leq 3$, die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) ${}P$ stimmt mit ${}f$ an den Stellen ${}-\pi ,0,\pi$ überein.

(b) ${}Q$ stimmt mit ${}f$ in ${}0$ und in ${}\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.

(c) ${}R$ stimmt mit ${}f$ in ${}\pi /2$ bis zur dritten Ableitung überein.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in \mathbb {R}$.

Aufgabe

Es sei ${}p\in \mathbb {R} [Y]$ ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der dritten Ordnung zur Funktion ${}{\frac {1}{x^{2}+1}}$ im Nullpunkt mit dem in Bemerkung 17.9 beschriebenen Potenzreihenansatz.

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=-3x+x^{3}\,.$

Wegen

${}f'(x)=-3+3x^{2}\,$

ist diese Funktion auf dem offen Intervall ${}]-1,1[$ streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ${}]-2,2[$). Dabei ist ${}f(0)=0$. Es sei

${}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

${}(g(f(x))=x\,$

die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt ${}0$ mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt ${}0$ bis zum Grad ${}4$ der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right)+x^{3}\exp \left(x^{2}\right).$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}f(x):={\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}+5}}$. Bestimme ein Polynom ${}h$ vom Grad ${}\leq 3$, das in den beiden Punkten ${}x=0$ und ${}x=-1$ die gleichen linearen Approximationen wie ${}f$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin ^{3}x-{\frac {1}{4}}\sin x,$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt ${}1$ mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.

Aufgabe (6 Punkte)

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}A_{n}\leq A_{n+1}$.