Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Exponentialfunktion ${}\exp x$ in jedem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * Aufgabe 1.4 ändern

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

surjektiv ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

eine differenzierbare Umkehrfunktion?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.2, Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht im Reellen gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.

Aufgabe Aufgabe 1.11 ändern

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}f(z)=z^{a}{\overline {z}}^{b}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von

${}f(z)={\overline {z}}^{3}+5z^{2}{\overline {z}}^{2}-3z^{2}{\overline {z}}+z{\overline {z}}^{2}+2z{\overline {z}}+4z+3{\overline {z}}\,.$

Aufgabe * Aufgabe 1.15 ändern

Berechne ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass es auf keiner offenen Umgebung der ${}0\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion

$h\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}z=h^{k}$ auf ${}V$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl ${}z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten ${}\pm {\sqrt {z}}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich ${}0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion ${}{\sqrt {z}}$ an der Stelle ${}-1$ nicht stetig ist.

Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um ${}-1$.