Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 6

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Es seien ${}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto w^{n}$, und ${}\varphi _{k}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}y\longmapsto y^{k}$, Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 6.2. Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung

$\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall ${}\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?

Aufgabe *

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto w^{n}$, die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel 6.2 und ${}\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto \exp w$, die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel 6.3. Zeige, dass es eine stetige Abbildung ${}\theta \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$ derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{\times }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow \varphi _{n}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{\times }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Ist ${}\theta$ eine Überlagerung?

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$ und sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass

$p{|}_{p^{-1}(T)}\colon p^{-1}(T)\longrightarrow T$

ebenfalls eine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}X$ hausdorffsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$ und es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass ${}p$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}p$ auf ${}p^{-1}(T)$ und auf ${}p^{-1}(X\setminus T)$ Überlagerungen sind.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}Z\subseteq X$ eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass dann auch

$p{|}_{Z}\colon Z\longrightarrow X$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine offene Abbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes ${}X$. Zeige, dass die Inklusion ${}U\rightarrow X$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn ${}U$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und die punktierte offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ nicht biholomorph zueinander sind.

Aufgabe

Zeige, dass es bei einer Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ zu ${}p$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ ein lokaler Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$, wobei ${}Y$ ein Hausdorffraum sei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ höchstens eine stetige Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}U$ und ${}V$ jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq U$ und ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\subseteq V$ miteinander verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?

Aufgabe

Es sei ${}Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum und sei ${}p\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung ein lokaler Homöomorphismus ist und dass die Liftung von stetigen Wegen aber nicht eindeutig ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ die Vereinigung der halboffenen Verbindungsstrecken ${}Y_{n}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ zwischen dem Punkt ${}(0,n)$ und dem Punkt ${}\left({\frac {n-1}{n}},\,n\right)$. Es sei ${}Y$ versehen mit der induzierten Topologie und sei ${}p\colon Y\rightarrow [0,1]$ die Projektion auf die erste Komponente.

1. Zeige, dass ${}p$ ein lokaler Homöomorphismus ist.
2. Es sei

   $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$

   der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung ${}\gamma {|}_{[0,s]}$ für jedes ${}s<1$ eine stetige Liftung besitzt, aber nicht ${}\gamma$ selbst.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ die Vereinigung der Verbindungsstrecken ${}Y_{n}$ zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ zwischen dem Punkt ${}(0,0)$ und dem Punkt ${}\left({\frac {n}{n+1}},\,n-1\right)$. Es sei ${}Y$ versehen mit der induzierten Topologie und sei ${}p\colon Y\rightarrow [0,1]$ die Projektion auf die erste Komponente. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]$

der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung ${}\gamma {|}_{[0,s]}$ für jedes ${}s<1$ eine stetige Liftung besitzt, aber nicht ${}\gamma$ selbst.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von ${}\varphi$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum. Beschreibe einen Homöomorphismus ${}\varphi \colon Y\rightarrow Y$, dessen Fixpunktmenge nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}\varphi \colon Y\rightarrow Y$ eine Decktransformation. Zeige, dass zu einer Teilmenge ${}T\subseteq X$ auch ${}\varphi {|}_{p^{-1}(T)}$ eine Decktransformation der Überlagerung ${}p^{-1}(T)\rightarrow T$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender topologischer Raum und ${}F$ ein diskreter topologischer Raum. Bestimme die Decktransformationsgruppe zur trivialen Überlagerung ${}p\colon X\times F\rightarrow X$.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass eine Decktransformation

$\varphi \colon Y\longrightarrow Y$

holomorph ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass zu einer holomorphen Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ die nach ${}Y$ zurückgezogene Funktion

   ${}g:=h\circ p\,$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation ${}\theta \colon Y\rightarrow Y$ die Gleichheit

   ${}g\circ \theta =g\,$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

   $g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation ${}\theta$ die Identität ${}g\circ \theta =g$ gilt. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}g=h\circ p$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}Y$ der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum und sei ${}p\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$ die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung stetig, surjektiv, endlich und ein lokaler Homöomorphismus ist, aber keine Überlagerung. Welche Voraussetzung von Satz 6.19 ist verletzt?