Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7/kontrolle

Aufgabe Referenznummer erstellen

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

Aufgabe Aufgabe 7.2 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$ ist.

Aufgabe Aufgabe 7.3 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

$\gamma ,\delta \colon [0,1]\longrightarrow X$

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges ${}\gamma$ mit Aufpunkt ${}x$ mit dem konstanten Weg ${}x$ homotop zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe Aufgabe 7.5 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg von ${}x$ nach ${}y$ und sei ${}\gamma ^{-1}$ der umgekehrt durchlaufene Weg, also ${}\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ homotop zum konstanten Weg ${}x$ ist.

Aufgabe Aufgabe 7.6 ändern

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}x,y\in X$ Punkte. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ homotope Wege von ${}x$ nach ${}y$. Zeige, dass auch die Rückwege ${}\gamma _{1}^{-1}$ und ${}\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt ${}x$ assoziativ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$\gamma \colon S^{1}\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von ${}\gamma$ auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.

Aufgabe Aufgabe 7.10 ändern

Es sei ${}X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien ${}x,y\in X$ Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und ${}\pi _{1}(X,x)$ und ${}\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt ${}x$ bzw. ${}y$) induziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

zu einem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y)$

führt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ der ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige explizit, dass der stetige Weg

$[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,1\right),$

nullhomotop ist.

Es sei ${}G$ eine Gruppe, dann heißt die von

${\left\{ghg^{-1}h^{-1}\mid g,h\in G\right\}}$

erzeugte Gruppe die Kommutatoruntergruppe ${}[G,G]$ von ${}G$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe ${}K(G)$ trivial ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Beziehung ${}\varphi (K(G))\subseteq K(H)$.

Zu einer Gruppe ${}G$ heißt die Restklassengruppe ${}G/K(G)$, wobei ${}K(G)$ die Kommutatorgruppe von ${}G$ bezeichnet, die Abelianisierung von ${}G$.