Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 15

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Die Multiplizität

Es sei

mit der homogenen Zerlegung (in der Standardgraduierung)

Es sei , d.h. der konstante Term sei .

Wir interessieren uns dafür, wie das Schnittverhalten von mit einer Geraden aussieht. Ein Extremfall ist, dass die Gerade ganz auf liegt, das kann bei (was wir annehmen) nicht für alle Geraden gelten (bei einem unendlichen Körper). Eine jede Gerade lässt sich durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor parametrisieren, d.h. sie ist das Bild einer affin-linearen Abbildung

mit

Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

Daraus sieht man, dass für einen Punkt genau dann

gilt, wenn eine Nullstelle des Polynoms in der einen Variablen ist. Den Durchschnitt von mit erhält man also dadurch, dass man die Nullstellen von beschreibt. Der Extremfall liegt genau dann vor, wenn die Einsetzung das Nullpolynom ist. Andernfalls hat nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) die Einsetzung maximal so viele Nullstellen, wie der Grad des eingesetzten Polynoms angibt. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper stimmt die Anzahl der mit Vielfachheiten gezählten Nullstellen mit dem Grad überein.


Beispiel  

Wir betrachten die Neilsche Parabel und bestimmen die Durchschnitte mit den Geraden , die durch

parametrisiert sind. Die Einsetzung ergibt die Bedingung

für . Bei hat dies den Grad , andernfalls den Grad . Die Nullstellen dieses Polynoms und ihre Vielfachheiten variieren mit den Parametern der Gerade. Die Gerade

führt beispielsweise zu

mit drei einfachen Nullstellen, die Gerade

führt hingegen zu

mit der doppelten Nullstelle bei . Eine Gerade durch den Nullpunkt kann man als

ansetzen, was zur Bedingung

führt. Hierbei ist

stets eine zumindest doppelte Nullstelle und bei sogar eine dreifache Nullstelle.


Das folgende Lemma beschreibt den Grad der eingesetzten Polynome ?



Lemma  

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom vom Grad . Es sei die Parametrisierung einer Geraden im .

Dann ist

mit Polynomen in den Variablen . Insbesondere hat höchstens den Grad . Wenn ein unendlicher Körper ist, so haben außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des die Einsetzungen den Grad .

Beweis  

Es ist

mit

Die Einsetzung für ein Monom ergibt nach dem Distributivgesetz

mit Polynomen in den . Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat maximal den Grad und sein Leitkoeffizient (vorausgesetzt, dass dieser Term nicht ist), ist

Wegen gibt es (bei unendlich) Punkte mit

und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge im Parameterraum.


Das vorstehende Argument zeigt insbesondere, dass bei Geraden durch dem Nullpunkt, die man ja mit Aufpunkt ansetzen kann, die homogenen Komponenten der Einsetzungen sich direkt aus den homogenen Komponenten von ergeben.


Definition  

Zu einem Polynom (über einem kommutativen Ring ) mit homogener Zerlegung nennt man den minimalen Grad mit der Untergrad von .

Wie wirkt sich der Untergrad auf das Schnittverhalten mit Geraden aus?



Satz  

Es sei ein Körper und ein von verschiedenes Polynom vom Untergrad . Es sei die Parametrisierung einer Geraden im durch den Nullpunkt.

Dann ist eine Nullstelle von , dessen Vielfachheit zumindest ist (was den Fall, dass das Nullpolynom ist, mit einschließen mag). Wenn ein unendlicher Körper ist, so ist die Vielfachheit dieser Nullstelle außerhalb einer algebraisch definierten Teilmenge des genau .

Beweis  

Sei

mit . Wie aus dem Beweis zu Lemma 15.2 im homogenen Fall () ersichtlich ist, hängen die homogenen Komponenten der Einsetzung nur von den homogenen Komponenten von ab. Insbesondere ist

und für . Somit ist eine zumindest -fache Nullstelle von , und genau dann eine -fache Nullstelle, wenn der Koeffizient nicht ist. Diese Bedingung ist auf einer nichtleeren offenen Teilmenge des erfüllt.


Die Aussage im vorstehenden Satz, dass eine Eigenschaft (nämlich das Schnittverhalten) für alle Geraden gilt, die durch eine nichtleere Zariski-offene Menge parametrisiert werden, drückt man häufig durch die Formulierung aus, dass sie für die generische Gerade gilt. Man sagt dann kurz, dass auf der generischen Gerade durch den Nullpunkt die Vielfachheit besitzt. Entsprechende Formulierungen gibt es nicht nur für Geraden, sondern generell für Objekte, die durch einen affinen Parameterraum oder eine affine Varietät parametrisiert werden.



Korollar  

Es sei ein unendlicher Körper und ein von verschiedenes Polynom mit . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein glatter Punkt von .
  2. Der Untergrad von ist .
  3. Für eine nichtleere [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Zariski-offene]] Teilmenge ist für jede Gerade mit Richtungsvektor die eine einfache Nullstelle des Polynoms .

Beweis  

Die Äquivalenz von (i) und (ii) folgt unmittelbar, da die Jacobi-Matrix im Nullpunkt direkt aus dem linearen Term von ablesbar ist. Die Äquivalenz von (ii) und (iii) ergibt sich aus Satz 15.4, da der Durchschnitt von zwei nichtleeren offenen Teilmengen im nichtleer ist.


Wir besprechen nun Besonderheiten des Schnittverhaltens mit Geraden über den komplexen Zahlen. Eine wichtige Rolle spielt dabei die sogenannte Stetigkeit der Nullstellen.



Satz  

Es sei ein von verschiedenes Polynom vom Untergrad .

Dann gibt es offene Ballumgebungen

und eine nichtleere Zariski-offene Menge derart, dass alle affin-linearen Geraden , die durch parametrisert sind und die den Ball treffen, innerhalb von die Hyperfläche mit Gesamtvielfachheit schneiden.

Beweis  

Es sei der Grad von und der Untergrad von . Es sei eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen zu den Geraden durch den Nullpunkt zum Parametertupel

den Grad und den Untergrad besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von Lemma 15.2 und Satz 15.4. Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt

wobei auf nullstellenfrei und unabhängig von den ist. Für einen fixierten Parameter mit besitzt dieses Polynom in eine Nullstelle der Vielfachheit . Nach dem Satz über die Stetigkeit der Nullstellen gibt es zu jedem ein mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das (durch parametrisiert ist und) die Koeffizientenbedingungen

für alle erfüllt, in mindestens Nullstellen mit Gesamtvielfachheit besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen stetig sind, gibt es zu jedem ein derart, dass für

die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der -Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest Schnittpunkte haben.

Bemerkung  

Zu einem Punkt ist nach Satz 15.4 die Vielfachheit von an auf einer generischen Geraden durch den Punkt gleich dem Untergrad von in dem Punkt. Der Untergrad wird dabei bestimmt, indem man um den Punkt entwickelt, also den Punkt in den Nullpunkt verschiebt. Wenn unendlich ist, so hat diese Zahl eine unmittelbare geometrische Bedeutung, nämlich eben die Vielfachheit des Schnittes. Diese Bedeutung ist der historische Ausgangspunkt für das Konzept Multiplizität, das ein wichtiges Singularitätsmaß ist, wie Korollar 15.5 zeigt. Eine algebraisch solidere Beschreibung dieser Invariante, die nicht nur für Hyperflächen funktioniert und die nur vom lokalen Ring der Varietät im Punkt abhängt, beruht auf der Hilbertfunktion von graduierten Moduln.



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