Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 14

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Fermatsche Primzahlen

Definition  

Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.



Lemma  

Bei einer Fermatschen Primzahl hat der Exponent die Form mit einem .

Beweis  

Wir schreiben mit ungerade. Damit ist

Für ungerades gilt generell die polynomiale Identität (da eine Nullstelle ist)

Also ist ein Teiler von . Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet .


Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.


Definition  

Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.



Satz

Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt

hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Beweis

Dieser Satz wird in einer Vorlesung über Körpertheorie bzw. Galoistheorie bewiesen.


Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal


Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen

überhaupt weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind. Der folgende Satz hilft bei der Auffindung von Primteilern, da er die Suche wesentlich einschränkt.



Satz  

Sei eine Fermat-Zahl mit . Dann erfüllt jeder Primfaktor von die Bedingung

mit einem .

Beweis  

Sei also ein Primteiler von . Dies bedeutet, dass in die Gleichung

vorliegt. Nach quadrieren ist und die Ordnung von ist (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von sein muss, aber ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von , woraus folgt, dass ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass ein Quadratrest modulo ist. Sei . Dann ist aber die Ordnung von genau . Nach dem Schluss von eben ist ein Teiler von , was bedeutet.




Satz  

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen und sind teilerfremd.

Beweis  

Sei . Dann ist

Hierbei ist gerade, und daher ist ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von und von auch ein Teiler von ist, also ein Teiler von . Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur als gemeinsamer Teiler übrig.


Bemerkung  

Aus Satz 14.6 folgt erneut, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Jede Fermatzahl hat mindestens einen Primfaktor , und diese sind alle verschieden.



Sophie Germain Primzahlen

Definition  

Eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.

Beispiele sind , , , , , , etc. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Sophie Germain Zahlen gibt.

Wir kommen nochmal zurück zu Mersenne-Zahlen und besprechen einige Situation, wo man Aussagen über mögliche Primteiler machen kann.



Satz  

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl, und die zugehörige Mersenne-Zahl. Dann ist ein Teiler von genau dann, wenn ist.

Beweis  

Es ist ein Teiler von genau dann, wenn in ist. Wegen ist dies nach dem Euler-Kriterium genau dann der Fall, wenn ein Quadratrest modulo ist. Dies ist nach dem zweiten Ergänzungssatz genau bei der Fall.


Bemerkung  

Ist eine Sophie-Germain Primzahl, die modulo den Rest hat, so ist und nach Satz 14.9 ist ein Teiler von . Bei ist dies ein echter Teiler und ist nicht prim.

Für ist . Für ist prim und es ist . Für ist wieder prim und es folgt, dass ein Vielfaches von ist.


Andere notwendige Bedingungen für Primteiler von Mersenne-Zahlen werden im folgenden Satz ausgedrückt.



Satz  

Sei eine ungerade Primzahl und die zugehörige Mersenne-Zahl. Ist ein Primfaktor von , so ist

Beweis  

Es sei ein Teiler von . Dies bedeutet

Dann ist die Ordnung von in und nach Lemma 4.6 ist ein Teiler von . Dies bedeutet wiederum

Da und ungerade sind, folgt sogar . Wenn ein primitives Element von ist, so ist , da alle Elemente der Ordnung sich so schreiben lassen. Da dieser Exponent gerade ist, muss ein Quadratrest sein, und der Fakt ***** liefert die Kongruenzbedingung modulo .




Pseudo-Primzahlen

Als Pseudo-Primzahlen bezeichnet man grob gesprochen solche Zahlen, die zwar nicht prim sind, aber wesentliche Eigenschaften mit Primzahlen gemeinsam haben.


Definition  

Eine natürliche Zahl heißt quasiprim zur Basis , wenn modulo gilt.


Definition  

Eine natürliche Zahl , die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu teilerfremde ganze Zahl

gilt, heißt Carmichael-Zahl.

Eine Carmichael-Zahl hat also die Eigenschaft, dass sie quasiprim zu jeder zu teilerfremden Basis ist.



Satz  

Eine natürliche nicht-prime Zahl ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler von einfach ist und die Zahl teilt.

Beweis  

Sei die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist

Sei eine zu teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere

für jeden Index . Wählt man für ein primitives Element in (was nach Satz 5.11 möglich ist; für ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung . Da ein Vielfaches der Ordnung ist und da und teilerfremd sind, folgt, dass ein Vielfaches von ist. Bei gibt es Elemente der Ordnung in (auch bei ), und es ergibt sich der Widerspruch . Also sind alle Exponenten einfach.

Für die Umkehrung ist nach Voraussetzung . Sei wieder eine Einheit. Dann ist

Also ist eine Carmichael-Zahl.



Beispiel  

Die kleinste Carmichael-Zahl ist

Dies folgt aus Satz 14.14, da , und Teiler von sind.


Es ist inzwischen bekannt, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.


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