Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 15

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

$\begin{array}{ccc}\mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}[i]\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{Q}& ⟶& \mathbb{Q}[i]\end{array}$

In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[i]$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei. Ferner ist $\mathbb{Q}$ der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ enthält, und ebenso ist $\mathbb{Q}[i]$ der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$ enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die ganzen Zahlen im Körper $\mathbb{Q}[i]$.

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ (ebenfalls vom Grad zwei), was ist dann der Ring der ganzen Zahlen?

$\begin{array}{ccccc}\mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]& ⟶& \mathbb{Z}[\omega ]\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{Q}& ⟶& \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]& =& \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]\end{array}$

Hier ist $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ und $\mathbb{Z}[\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ und $\mathbb{Z}[\omega ]$ ist $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subseteq L$ der richtige Ganzheitsring in $L$ ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben dadurch beschrieben haben, dass $\mathbb{Q}$ der kleinste Körper ist, der $\mathbb{Z}$ enthält.

Definition

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

$Q(R)=\{\frac{r}{s}\mid r,s\in R,s\ne 0\}$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel

$\frac{r}{s}=\frac{tr}{ts}$

($t\ne 0$). Für die Operationen gelten

$\frac{r}{s}+\frac{t}{u}=\frac{ru+ts}{su}$

(auf einen Hauptnenner bringen) und

$\frac{r}{s}\cdot \frac{t}{u}=\frac{rt}{su}.$

Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element

$\frac{r}{s}\ne 0$

ist $\frac{s}{r}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich $R$ findet sich in $Q(R)$ über die Elemente $\frac{r}{1}$ wieder. Diese natürliche Inklusion

$R\subseteq Q(R)$

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element  $r=\frac{r}{1}$  hat bei  $r\ne 0$  das Inverse $\frac{1}{r}$. Zwischen $R$ und $Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu  $r\ne 0$  das (eindeutig bestimmte) Inverse $\frac{1}{r}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte  $s\frac{1}{r}=\frac{s}{r}$. 

Definition

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R\to A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$-Algebra.

Wenn eine $R$-Algebra vorliegt so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer $R$-Algebra ist der Polynomring $R[X]$. Ein $R$-Algebra-Homomorphismus von $R[X]$ in eine weitere $R$-Algebra $B$ ist gegeben durch die Zuordnung $X\mapsto f$, wobei $f\in B$ ein Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom $\sum _{i=0}{r}_i{X}^i$, $r_i\in R$, auf $\sum _{i=0}{r}_i{f}^i\in B$, wobei die $r_i$ via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in $B$ aufgefasst werden.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$  gibt.

Wenn ein Polynom  $P\ne 0$  das algebraische Element  $f\in A$  annulliert (also $P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz

und algebraisch äquivalent.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $K$-Algebra. Es sei  $f\in A$  ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  $P\in K[X]$  mit  $P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von $f$.

Die über den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl  $z\in ℂ$  ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit  $P(z)=0$  gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms $X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen $\sqrt{q}$ und $q^{1/n}$ für  $q\in \mathbb{Q}$  algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

Definition

Es sei $L$ ein Körper und  $K\subseteq L$  ein Unterkörper von $L$. Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion  $K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Eine $K$-Algebra $A$ kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper $K$ auffassen (ist $K$ kein Körper, so ist eine $K$-Algebra ein $K$-Modul.) Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.

Definition

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Ein Element  $f\in L$  einer Körpererweiterung

$K\subseteq L$

definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung

${\phi }_f:L⟶L,y⟼fy.$

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von $f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\phi :V⟶V$

eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die Determinante $det\left(\phi \right)$ und die Spur $S(\phi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-Basis  $v_1,\dots ,v_n\in V$  und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische $n\times n$-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_{1,1}& \cdots & {\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_{n,1}& \cdots & {\lambda }_{n,n}\end{array}\right)$

mit  ${\lambda }_{ij}\in K$  und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

$S(\phi )={\lambda }_{1,1}+{\lambda }_{2,2}+\cdots +{\lambda }_{n,n}$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe ***** ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Spur von $f$. Sie wird mit $\mathrm{Spur}\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N:L⟶K,f⟼N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  $N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $N(f)=f^n$,  wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  $N(f)=0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt *****.
2. Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einem Element  $f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach Fakt *****.
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  $f\ne 0$.  Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\to L$, und deren Determinante ist $\ne 0$ nach Fakt *****.

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur

$S:L⟶K,f⟼S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist $K$-linear, also  $S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  $S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  $\lambda \in K$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$◻$

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt einfach, wenn sie von einem Element $f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer $L$ keinen Körper zwischen $K$ und $L$ gibt, der $f$ enthält. Das Element $f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist  $K\subseteq L$  eine endliche und einfache Körpererweiterung, so ist

$L=K[f]\cong K[X]/(P),$

wobei $P$ das Minimalpolynom von $f$ ist.

Satz

Es sei  $K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.

Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt

$P=X^n-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1{)}^{n}N(f).$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${\mu }_f$ sei bezüglich einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $L$ durch die Matrix ${\left({\lambda }_{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${\chi }_{{\mu }_f}{\chi }_{{\mu }_f}=det\left(\begin{array}{ccc}X-{\lambda }_{1,1}& \cdots & -{\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ -{\lambda }_{n,1}& \cdots & X-{\lambda }_{n,n}\end{array}\right)=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0.$

Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^n-\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i,i}{X}^{n-1}+\dots$, sodass also  $a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  $X=0$,  so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  $a_0=(-1{)}^{n}N(f)$  folgt.

$◻$

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element  $x\in L$  das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von $\mathbb{Q}$ interessieren, also in Charakteristik $0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe *****), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein  $f\in L$  mit

$L=K(f)\cong K[X]/(P)$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom  $P\in K[X]$. 

Beweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.

$◻$

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