Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Inhomogen/Textabschnitt

Definition

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

mit zwei auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können.

Satz

Es sei

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und es sei

${}a(t)=\exp(G(t))\,$

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf ${}I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

${}y(t)=c(t)a(t)\,,$

wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

Beweis

Da ${}a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}y(t)=c(t)a(t)\,$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${}c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${}y$)

${}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$

als

${}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$

schreiben, und diese gilt wegen ${}a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn

${}c'(t)a(t)=h(t)\,$

bzw.

${}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$

gilt. D.h. ${}c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$ vorgegeben. Mit ${}c(t)$ ist auch ${}c(t)+c_{0}$ für jedes ${}c_{0}\in \mathbb {R}$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$. Die Bedingung

${}y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,$

legt dann ${}c_{0}$ eindeutig fest.

$\Box$

Die in diesem Satz verwendete Methode heißt Variation der Konstanten. Man ersetzt dabei die Lösungsfunktionen der zugehörigen homogenen Gleichung, also ${}ca(t)$ mit konstantem ${}c\in \mathbb {R}$, durch eine variable Funktion ${}c(t)$.

Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=ay+b\,$

mit Konstanten ${}a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktion

${}z(t)=e^{at}\,$

ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu ${}be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch ${}-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form

${}{\left(-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c\right)}\cdot e^{at}=c\cdot e^{at}-{\frac {b}{a}}\,.$

Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat.

Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein (heißer) Körper (beispielsweise eine Tasse Kaffee) sich in einem umgebenden Medium (beispielsweise in einem Straßencafé) mit konstanter Außentemperatur ${}A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung ${}y(t)$ des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung

${}y'(t)=-d(y(t)-A)\,$

beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist (der Proportionalitätsfaktor ${}d>0$ hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab). Die Lösungen sind

${}y(t)=ce^{-dt}+A\,.$

Dabei ist das ${}c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangstemperatur des Körpers zum Zeitpunkt ${}0$. Für ${}t\rightarrow +\infty$ nimmt der Körper die Außentemperatur ${}A$ an.

Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y+t^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(3)=4$. Die Exponentialfunktion ${}a(t)=e^{t}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu

${}{\frac {t^{2}}{e^{t}}}=t^{2}\cdot e^{-t}\,$

finden. Mit zweifacher partieller Integration findet man die Stammfunktion

${\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}.$

Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form

${}e^{t}{\left({\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}+c\right)}=-t^{2}-2t-2+ce^{t}\,.$

Wenn wir noch die Anfangsbedingung ${}y(3)=4$ berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung

${}-9-6-2+ce^{3}=-17+ce^{3}=4\,,$

also ${}c={\frac {21}{e^{3}}}$. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-t^{2}-2t-2+{\frac {21}{e^{3}}}e^{t}\,.$

Beispiel

Wir betrachten für ${}t>1$ die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}+t-1\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(2)=5$. Hier ist also ${}h(t)=t-1$ die Störfunktion und

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}\,$

ist die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung. Eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{t^{2}-1}}$ ist

${}G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {t-1}{t+1}}\right)}=\ln {\left({\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\right)}\,.$

Daher ist nach Fakt (bzw. nach Beispiel)

${}a(t)={\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}\,$

eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu

${}{\frac {h(t)}{a(t)}}={\frac {\sqrt {t+1}}{\sqrt {t-1}}}\cdot (t-1)={\sqrt {t+1}}\cdot {\sqrt {t-1}}={\sqrt {t^{2}-1}}\,.$

Eine Stammfunktion dazu ist

${}c(t)={\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}\,.$

Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt

${\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+c\right)}$

Die Anfangsbedingung führt zu

${}5={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(2{\sqrt {3}}-\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}+c_{0}\right)}=1-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,+c_{0}{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

Also ist

${}c_{0}=4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\,$

und die Lösung des Anfangswertproblems ist

$y(t)={\sqrt {\frac {t-1}{t+1}}}\cdot {\left({\frac {1}{2}}{\left(t{\sqrt {t^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,t\,\right)}+4{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,2\,\right)}\,.$

Das folgende Beispiel zeigt, dass man schon bei recht einfach aussehenden linearen Differentialgleichungen schnell an die Integrationsgrenzen kommt.

Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=ty+1\,.$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung ${}y'=ty$ hat die Lösung

$e^{{\frac {1}{2}}t^{2}},$

somit sind nach Fakt die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich ${}c(t)e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$, wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion von ${}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$ ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar (diese Funktion kommt auch beim sogenannten Fehlerintegral vor).