Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Christoffelsymbole/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien ${}x_{i}$ die Koordinaten auf ${}U$ und ${}e_{j}$ die Standardschnitte in ${}E$. Dann nennt man die durch die Gleichungen

${}\nabla _{\partial _{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}\,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich ${}x_{i}$ und ${}e_{j}$.

Die Christoffelsymbole beschreiben also die Abbildungen

$U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$

bezüglich der Basisschnitte ${}e_{k}$ von ${}E$. Die Linearität des Zusammenhangs ist für diese Definition nicht nötig, allerdings ergibt sich die Aussagekraft der Christoffelsymbole erst in Verbindung mit der Leibniz-Regel, die die Linearität voraussetzt, siehe Fakt.

Bemerkung  

Mit ${}E$ trivial auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vom Rang ${}r$ ist

${}T(U\times \mathbb {R} ^{r})=U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und dem Vertikalbündel

${}VE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r}\subseteq TE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und gegebenen Funktionen ${}\Gamma _{ij}^{k}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ wird eine vertikale Projektion (die zur Spaltung des Tangentialbündels ${}TE$ und damit zu einem Zusammenhang äquivalent ist) durch

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i,j}v_{i}u_{j}\Gamma _{ij}^{k}(P)\right)}e_{k}+w),$

gegeben. Speziell ist

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w).$

Die zugehörige vertikale Ableitung

$U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$

schickt

$P\longmapsto (P,\partial _{i})\longmapsto (P,e_{j},\partial _{i},0)\longmapsto \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}.$

Man erhält also die definierende Eigenschaft der Christoffelsymbole zurück.

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet ${}U\subseteq X$ mit Koordinaten ${}x_{i}$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$) und auf dem ${}E$ trivialisiert mit Basisschnitten ${}s_{j}$, die durch die Gleichungen

${}\nabla _{\partial _{i}}s_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten ${}x_{i}$ und Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$ und Basisschnitten ${}s_{j}$ in ${}E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen ${}h_{i},f_{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ die Beziehung

$\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}\,.$

Beweis

Nach Fakt und Fakt ist

${}{\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}$

$\Box$