Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

Dies ist genau die Eigenschaft, die die Faser einer differenzierbaren Abbildung zwischen euklidischen Räumen in einem regulären Punkt aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen besitzt. D.h. solche Fasern sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${}N=\mathbb {R} ^{n}$.

Satz

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$.

Dann ist ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion ${}M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung ist.

Beweis

Die differenzierbare Struktur auf ${}M$ ist durch die eingeschränkten Karten

$\theta \!\mid _{M}\colon M\cap W\longrightarrow (\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'$

gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet ${}W\subseteq N$ ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}M\cap W&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&W&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu

$(\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'\longrightarrow W',$

also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.

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Satz

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und es sei ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$.

Dann ist für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{P}N$

injektiv.

D.h. der Tangentialraum ${}T_{P}M$ ist ein Untervektorraum der Dimension ${}m$ von ${}T_{P}N$.

Beweis

Es sei ${}P\in M$ und ${}P\in V\subseteq N$ ein Kartengebiet mit der Karte

$\alpha \colon V\longrightarrow V'$

und mit der eingeschränkten Karte

$U=M\cap V\longrightarrow U'=\mathbb {R} ^{m}\cap V'.$

Nach Fakt  (2) haben wir ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T_{P}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\alpha \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion ${}\mathbb {R} ^{m}\cap V'\rightarrow V'$, und diese ist die lineare Inklusion ${}\mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv.

$\Box$