Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von , wenn es zu jedem Punkt eine Karte

gibt mit offen, offen und mit

Dies ist genau die Eigenschaft, die die Faser einer differenzierbaren Abbildung zwischen euklidischen Räumen in einem regulären Punkt aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen besitzt. D.h. solche Fasern sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .



Satz  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von .

Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion eine differenzierbare Abbildung ist.

Beweis  

Die differenzierbare Struktur auf ist durch die eingeschränkten Karten

gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt.

Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet ein kommutatives Diagramm

gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu

also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.




Satz  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension .

Dann ist für jeden Punkt die Tangentialabbildung

injektiv.

D.h. der Tangentialraum ist ein Untervektorraum der Dimension von .

Beweis  

Sei und ein Kartengebiet mit der Karte

und mit der eingeschränkten Karte

Nach Fakt  (2) haben wir ein kommutatives Diagramm

Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion , und diese ist die lineare Inklusion , also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv.