Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie.

Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$

deren Einschränkung auf ${}\partial M$ die Identität ist.

Beweis

Der Rand ${}\partial M$ ist nach Fakt eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Fakt eine stetig differenzierbare positive Volumenform ${}\tau$ auf ${}\partial M$. Es ist ${}\int _{\partial M}\tau >0$. Die äußere Ableitung der Volumenform ${}\tau$ ist ${}0$.  Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \partial M$

mit ${}\varphi {|}_{\partial M}=\operatorname {Id} _{\partial M}$ gebe. Dann ist die zurückgezogene Form ${}\varphi ^{*}\tau$ eine ${}(n-1)$-Differentialform auf ${}M$, deren Einschränkung auf den Rand mit ${}\tau$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Fakt und Fakt  (5)

${}{\begin{aligned}\int _{\partial M}\tau &=\int _{\partial M}\varphi ^{*}\tau \\&=\int _{M}d(\varphi ^{*}\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(d\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(0)\\&=0.\end{aligned}}$

Dies ist ein Widerspruch.

$\Box$

Man formuliert diese Aussage auch so, dass man sagt, dass es keine (stetig differenzierbare) Retraktion auf den Rand gibt.

Der folgende Satz heißt Brouwerscher Fixpunktsatz.

Satz

Es sei

$\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$

eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ in sich.

Dann besitzt ${}\psi$ einen Fixpunkt.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}r=1$.  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung ${}\psi$ geben würde. Dann ist stets

${}x\neq \psi (x)\,,$

sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

${}h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$

definieren wir eine Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

durch

$\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei ${}\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei ${}\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt ${}\psi (x)$ nicht senkrecht zu ${}x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), sodass

${}\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei ${}h(x)$ und bei ${}\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung ${}\varphi$ bildet nach Aufgabe die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt nicht sein kann.

$\Box$