Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt

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Satz  

Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie.

Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung

deren Einschränkung auf die Identität ist.

Beweis  

Der Rand ist nach Fakt eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Fakt eine stetig differenzierbare positive Volumenform auf . Es ist . Die äußere Ableitung der Volumenform ist .  Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

mit gebe. Dann ist die zurückgezogene Form eine -Differentialform auf , deren Einschränkung auf den Rand mit übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Fakt und Fakt  (5)

Dies ist ein Widerspruch.

Man formuliert diese Aussage auch so, dass man sagt, dass es keine (stetig differenzierbare) Retraktion auf den Rand gibt.

Der folgende Satz heißt Brouwerscher Fixpunktsatz.


Satz  

Es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im in sich.

Dann besitzt einen Fixpunkt.

Beweis  

Zur Notationsvereinfachung sei .  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung geben würde. Dann ist stets

so dass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

definieren wir eine Abbildung

durch

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei klar und bei liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt nicht senkrecht zu ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), so dass

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei und bei um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung bildet nach Aufgabe die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt nicht sein kann.