Parameterabhängige Integrale/Stetigkeit und Differenzierbarkeit/Textabschnitt

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion. Dann gibt es einerseits zu jedem

${}x\in M$ die Funktion

$f(-,x)\colon E\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,t\longmapsto f_{x}(t)=f(t,x),$

die man auf Stetigkeit untersuchen kann, und andererseits für jeden „Parameter“ ${}t\in E$ die Funktion

$f(t,-)\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto f_{t}(x)=f(t,x)$

und dazu (im Falle der Integrierbarkeit) das Integral ${}\int _{M}f_{t}\,d\mu$. Wir interessieren uns für die Abhängigkeit von diesem Integral vom Parameter ${}t\in E$. Um deutlich zu machen, dass über ${}x\in M$

(nicht über ${}t\in E$) integriert wird, schreiben wir manchmal ${}\int _{M}f_{t}\,d\mu (x)$ oder ${}\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$, wobei ${}x$ die Variable zu ${}M$ bezeichnet.

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum, ${}t_{0}\in E$ und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle ${}t\in E$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   mit

   ${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}t\in E$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$.

Beweis

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen ${}x\mapsto f(t,x)$ folgt aus Fakt. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion ${}t\mapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$ in ${}t_{0}$ zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E$, die gegen ${}t_{0}$ konvergiert. Wir setzen ${}f_{n}(x)=f(s_{n},x)$. Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ für jedes ${}x\in M$ gegen ${}f(t_{0},x)$. Daher konvergiert die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen ${}f(t_{0},-)$. Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (s_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{M}f(t_{0},x)\,d\mu (x)=\varphi (t_{0})\,.$

$\Box$

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}I$ ein nichtleeres offenes Intervall und

$f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle ${}t\in I$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
2. Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}t\in I$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

(stetig) differenzierbar in ${}t$, die Zuordnung ${}x\mapsto f'(t,x)$ ist integrierbar und es gilt die Formel

${}\varphi '(t)=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x)\,.$

Beweis

Der Differenzenquotient für ${}\varphi$ in einem Punkt ${}t\in I$ und ${}s\neq t$ ist

${}{\frac {\varphi (s)-\varphi (t)}{s-t}}={\frac {\int _{M}f(s,x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s-t}}\,.$

Wir müssen für jede Folge ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}I$ mit ${}s_{n}\neq t$, die gegen ${}t$ konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes ${}x\in M$ und jedes ${}n$) ein ${}c\in I$ mit

${}\vert {\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\vert =\vert {f'(c,x)}\vert \leq h(x)\,.$

Da ${}h$ integrierbar ist, ist auch für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ der Differenzenquotient als Funktion in ${}x$ nach Fakt integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz

${}{\begin{aligned}\varphi '(t)&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi (s_{n})-\varphi (t)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\int _{M}f(s_{n},x)\,d\mu (x)-\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)}{s_{n}-t}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(s_{n},x)-f(t,x)}{s_{n}-t}}\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x).\end{aligned}}$

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$f\colon U\times M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für jedes ${}z\in U$ ist die Funktion

   $M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(z,x),$

   integrierbar.

2. Für jedes ${}x\in M$ ist die Funktion

   $U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z,x),$

   stetig differenzierbar.

3. Es gibt eine nichtnegative integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}z\in U$, alle ${}x\in M$ und alle ${}i=1,\ldots ,n$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \varphi (z)=\int _{M}f(z,x)\,d\mu (x),$

stetig differenzierbar und es gilt für jedes ${}i=1,\ldots ,n$ die Formel

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{i}}}(z)=\int _{M}{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)\,d\mu (x)\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}P\in U$ die lineare Kurve

$\psi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto P+te_{i},$

vorschaltet und ${}f\circ (\psi \times \operatorname {Id} _{M})$ betrachtet.

$\Box$