Riemann Integral/Über Ober und Unterintegral/Textabschnitt

Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt (teilweise verdeckt) ist eine Obersumme.

Definition

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Historisch korrekter ist es, von Darboux-integrierbar zu sprechen.

Definition

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

$f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$. Es wird mit

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt$

bezeichnet.

Das Berechnen von solchen Integralen nennt man integrieren. Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol ${}dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

Lemma

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von oberen Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.

Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall ${}[a,b]\subseteq [0,1]$ ist daher ${}f(a)$ das Minimum und ${}f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall ${}[0,1]$ in die ${}n$ gleichlangen Teilintervalle

$\left[i{\frac {1}{n}},(i+1){\frac {1}{n}}\right],i=0,\ldots ,n-1,$

der Länge ${}{\frac {1}{n}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

${}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left(i{\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,$

(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${}{\left(1/2n\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(1/6n^{2}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergieren, ist der Limes für ${}n\rightarrow \infty$ von diesen Treppenintegralen gleich ${}{\frac {1}{3}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktion ist

${}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left((i+1){\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{j=1}^{n}j^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,.$

Der Limes davon ist wieder ${}{\frac {1}{3}}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, sodass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

${}\int _{0}^{1}t^{2}\,dt={\frac {1}{3}}\,$

ist.

Lemma

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

In dieser Situation gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int _{a_{i-1}}^{a_{i}}f_{i}(t)\,dt\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von ${}f$ auf jedes kompakte Intervall ${}[a,b]\subseteq I$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall ${}[a,b]$ die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ bedeutet nicht, dass ${}\int _{\mathbb {R} }f(x)dx$ eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.