Riemann Integral/Über Ober und Unterintegral/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt (teilweise verdeckt) ist eine Obersumme.


Definition  

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.


Definition  

Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit

bezeichnet.

Das Berechnen von solchen Integralen nennt man integrieren. Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist



Lemma

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen  mit und eine Folge von oberen Treppenfunktionen  mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihr Grenzwert übereinstimmt.

Dann ist Riemann-integrierbar, und das bestimmte Integral ist gleich diesem Grenzwert, also

Beweis

Siehe Aufgabe.



Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall ist daher das Minimum und das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Sei eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall in die gleichlangen Teilintervalle

der Länge . Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen und gegen konvergieren, ist der Limes für von diesen Treppenintegralen gleich . Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktionen ist

Der Limes davon ist wieder . Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, so dass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

ist.




Lemma

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion.

Dann ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es eine Unterteilung derart gibt, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.

In dieser Situation gilt

Beweis

Siehe Aufgabe.



Definition  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.

Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion bedeutet nicht, dass eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.