Riemannsche Fläche/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Textabschnitt

Satz

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p:E\to X$ zur Strukturgarbe. Es sei

$\gamma :[0,1]⟶X$

ein stetiger Weg mit  $\gamma (0)=x$,   $\gamma (1)=y$  und seien  $f\in {𝒪}_{X,x}$  und  $g\in {𝒪}_{X,y}$  holomorphe Keime in den Endpunkten.

Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ längs $\gamma$, wenn es eine Liftung

$\tilde{\gamma }:[0,1]⟶E$

zu $\gamma$ mit  $(x,f),(y,g)\in E$  als Endpunkte gibt.

Beweis

Es gebe eine analytische Fortsetzung von $f$ nach $g$. D.h. es gibt eine Intervallunterteilung

$0=t_0<t_1<\dots <t_{n-1}<t_n=1,$

zusammenhängende offene Mengen  $U_i\subseteq X$  mit  $\gamma ([t_{i-1},t_i]\subseteq U_i$  und holomorphe Funktionen  $f_i\in \mathrm{\Gamma }(U_i,{𝒪}_X)$  derart, dass  $f_1=f$,   $f_n=g$  und $f_i$ und $f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von $\gamma (t_i)$ übereinstimmen. Die zugehörigen offenen Mengen  $(U_i,f)\subseteq E$  bilden unter $p$ nach Fakt homöomorph auf $U_i$ ab. Wir definieren die Liftung $\tilde{\gamma }$ durch

$\tilde{\gamma }={\left(p{|}_{(U_i,f_i)}\right)}^{-1}\circ {\gamma }_i.$

In einer offenen Umgebung von $\gamma (t_i)$ (innerhalb von $U_i\cap U_{i+1}$) stimmen $f_i$ und $f_{i+1}$ überein und daher stimmen darauf die stückweisen Liftungen überein.

Wenn umgekehrt eine Liftung $\tilde{\gamma }$ existiert, so wird die kompakte Bildkurve  $\tilde{\gamma }([0,1])\subseteq E$  durch endlich viele offene Mengen der Form $(U_i,f_i)$, $i=1,\dots ,n$, mit

$(U_i,f_i)\cap (U_{i+1},f_{i+1})\ne \mathrm{\varnothing }$

überdeckt. Diese Daten konstituieren eine analytische Fortsetzung.

$◻$

Korollar

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum $p:E\to X$ zur Strukturgarbe. Es seien  $x,y\in X$  Punkte und seien  $f\in {𝒪}_{X,x}$  und  $g\in {𝒪}_{X,y}$  holomorphe Keime.

Genau dann ist $g$ eine analytische Fortsetzung von $f$ (bezüglich irgendeines stetigen Weges), wenn $(x,f)$ und $(y,g)$ der gleichen Zusammenhangskomponente von $E$ angehören.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und daraus, dass auf (wegen Fakt) der Mannigfaltigkeit $E$ die Zusammenhangskomponenten wegzusammenhängend sind.

$◻$

Lemma

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p:Y\to X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien  $y_1,y_2\in Y$  Punkte über $x_1$ bzw. $x_2$

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime  $f_i\in {𝒪}_{X,x_i}$  die aus $f$ durch die induzierten Ringisomorphismen

${\theta }_i:{𝒪}_{Y,y_i}⟶{𝒪}_{X,x_i}$

gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

Beweis

Es sei $\tilde{\gamma }:[0,1]\to Y$ ein stetiger Weg von  $\tilde{\gamma }(0)=y_1$  nach  $\tilde{\gamma }(1)=y_2$.  Der Bildweg  $\gamma =p\circ \tilde{\gamma }$  verbindet dann $x_1$ und $x_2$ und längs dieses Weges kann man $f_1$ in $f_2$ überführen. Dazu wählt man eine Überdeckung von $\tilde{\gamma }([0,1])$ mit offenen Mengen, die unter $p$ homöomorph auf offene Mengen von $X$ abgebildet werden, wozu eine endliche Teilüberdeckung gehört.

$◻$

Korollar

Es seien $X$ und $Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei $p:Y\to X$ eine Überlagerung. Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $Y$ und es seien  $y_1,y_2\in Y$  Punkte über  $x\in X$. 

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime  $f_1,f_2\in {𝒪}_{X,x}$  die aus $f$ durch die induzierten Isomorphismen

${\theta }_i:{𝒪}_{Y,y_i}⟶{𝒪}_{X,x}$

gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$◻$

Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche,  $P\in X$  und  $f\in {𝒪}_{X,P}$  ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente $Z$ des Ausbreitungsraumes $E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt $(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

1. Es gibt eine holomorphe Funktion $g:Z\to ℂ$, die den Keim $f$ (aufgefasst in ${𝒪}_{Z,(P,f)}$) fortsetzt.
2. Das Bild von

   $Z⟶X$

   besteht aus allen Punkten  $Q\in X$,  für die es eine analytische Fortsetzung von $f$ zu einem Keim in $Q$ gibt.

Beweis

1. Dies ergibt sich durch Einschränkung der holomorphen Auswertungsabbildung aus Fakt auf  $Z\subseteq E$. 
2. Dies folgt aus Fakt.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche

$X={ℂ}^{\times }=ℂ\setminus \{0\}.$

Zur komplexen Exponentialfunktion

$\exp :ℂ⟶{ℂ}^{\times }$

gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu $1/w$. Auf einer offenen Teilmenge  $U\subseteq {ℂ}^{\times }$  unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von $2\pi \mathrm{i}$. Im Punkt $1$ ist die Potenzreihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{1}{k}(w-1{)}^k$

die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius $1$. Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes $U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${ℂ}^{\times }$. Die Fortsetzung auf $ℂ\setminus {ℝ}_{\le 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

Nach Fakt (mit $f=z$) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um $2\pi \mathrm{i}$.