Riemannsche Fläche/Analytische Fortsetzung/Ausbreitungsraum/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum ${}p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=x$, ${}\gamma (1)=y$ und seien ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime in den Endpunkten.

Genau dann ist ${}g$ eine analytische Fortsetzung von ${}f$ längs ${}\gamma$, wenn es eine Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow E$

zu ${}\gamma$ mit ${}(x,f),(y,g)\in E$ als Endpunkte gibt.

Beweis

Es gebe eine analytische Fortsetzung von ${}f$ nach ${}g$. D.h. es gibt eine Intervallunterteilung

${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1\,,$

zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}f_{1}=f$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Die zugehörigen offenen Mengen ${}(U_{i},f)\subseteq E$ bilden unter ${}p$ nach Fakt homöomorph auf ${}U_{i}$ ab. Wir definieren die Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ durch

${}{\tilde {\gamma }}={\left(p{|}_{(U_{i},f_{i})}\right)}^{-1}\circ \gamma _{i}\,.$

In einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ (innerhalb von $U_{i}\cap U_{i+1}$) stimmen ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ überein und daher stimmen darauf die stückweisen Liftungen überein.

Wenn umgekehrt eine Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ existiert, so wird die kompakte Bildkurve ${}{\tilde {\gamma }}([0,1])\subseteq E$ durch endlich viele offene Mengen der Form ${}(U_{i},f_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, mit

${}(U_{i},f_{i})\cap (U_{i+1},f_{i+1})\neq \emptyset \,$

überdeckt. Diese Daten konstituieren eine analytische Fortsetzung.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum ${}p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es seien ${}x,y\in X$ Punkte und seien ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime.

Genau dann ist ${}g$ eine analytische Fortsetzung von ${}f$ (bezüglich irgendeines stetigen Weges), wenn ${}(x,f)$ und ${}(y,g)$ der gleichen Zusammenhangskomponente von ${}E$ angehören.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und daraus, dass auf (wegen Fakt) der Mannigfaltigkeit ${}E$ die Zusammenhangskomponenten wegzusammenhängend sind.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$ und es seien ${}y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über ${}x_{1}$ bzw. ${}x_{2}$

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime ${}f_{i}\in {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$ die aus ${}f$ durch die induzierten Ringisomorphismen

$\theta _{i}\colon {\mathcal {O}}_{Y,y_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x_{i}}$

gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

Beweis

Es sei ${}{\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\rightarrow Y$ ein stetiger Weg von ${}{\tilde {\gamma }}(0)=y_{1}$ nach ${}{\tilde {\gamma }}(1)=y_{2}$. Der Bildweg ${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}$ verbindet dann ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ und längs dieses Weges kann man ${}f_{1}$ in ${}f_{2}$ überführen. Dazu wählt man eine Überdeckung von ${}{\tilde {\gamma }}([0,1])$ mit offenen Mengen, die unter ${}p$ homöomorph auf offene Mengen von ${}X$ abgebildet werden, wozu eine endliche Teilüberdeckung gehört.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}Y$ und es seien ${}y_{1},y_{2}\in Y$ Punkte über ${}x\in X$.

Dann entstehen die holomorphen Funktionskeime ${}f_{1},f_{2}\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ die aus ${}f$ durch die induzierten Isomorphismen

$\theta _{i}\colon {\mathcal {O}}_{Y,y_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

gestiftet werden, wechselseitig durch analytische Fortsetzung.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}P\in X$ und ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente ${}Z$ des Ausbreitungsraumes ${}E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt ${}(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

1. Es gibt eine holomorphe Funktion ${}g\colon Z\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den Keim ${}f$ (aufgefasst in ${\mathcal {O}}_{Z,(P,f)}$) fortsetzt.
2. Das Bild von

   $Z\longrightarrow X$

   besteht aus allen Punkten ${}Q\in X$, für die es eine analytische Fortsetzung von ${}f$ zu einem Keim in ${}Q$ gibt.

Beweis

1. Dies ergibt sich durch Einschränkung der holomorphen Auswertungsabbildung aus Fakt auf ${}Z\subseteq E$.
2. Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche

${}X={\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,.$

Zur komplexen Exponentialfunktion

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu ${}1/w$. Auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von ${}2\pi {\mathrm {i} }$. Im Punkt ${}1$ ist die Potenzreihe

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}(w-1)^{k}$

die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius ${}1$. Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes ${}U$ eindeutig fortsetzen, aber nicht auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$. Die Fortsetzung auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

Nach Fakt (mit ${}f=z$) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um ${}2\pi {\mathrm {i} }$.