Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang. Man nennt eine zweifach differenzierbare Kurve

$\gamma :I⟶M$

eine geodätische Kurve (oder Geodätische), wenn

${\mathrm{\nabla }}_{d/dt}{\gamma }^{\prime }=0$

auf $I$ ist.

Manchmal sagt man auch Geodäte. Wir betonen, dass eine geodätische Kurve eine Kurve ist, es also nicht nur um das Bild der Kurve geht, sondern um den Bewegungsvorgang.

Lemma

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei.

Dann stimmen die Geodätischen in $Y$ im Sinne von Definition mit den Geodätischen im Sinne von Definition überein.

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$◻$

Lemma

Es sei $\gamma :I\to M$ eine geodätische Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ versehen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang.

Dann ist $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert$ konstant auf $I$.

Beweis

Auf einem offenen Kartengebiet ist unter Verwendung von Fakt  (2) und Fakt

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial t}⟨{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩& =⟨{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial t}}{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩+⟨{\gamma }^{\prime }(t),{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial t}}{\gamma }^{\prime }(t)⟩\\ & =2⟨{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial t}}{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩\\ & =2⟨0,{\gamma }^{\prime }(t)⟩\\ & =0,\end{array}$

also ist $⟨{\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩$ konstant.

$◻$

Satz

Eine zweifach differenzierbare Kurve $\gamma :I\to M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ ist

genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung

${{\gamma }_k}^{″}+\sum _{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{{\gamma }_i}^{\prime }{{\gamma }_j}^{\prime }=0$

(für alle $k$) erfüllt.

Beweis

Es sei $n$ die Dimension von $M$. Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild  $U\subseteq {ℝ}^n$.  Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung durch

$T(U\times {ℝ}^n)=U\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n⟶U\times {ℝ}^n\times {ℝ}^n,(P,e_j,{\partial }_i,w)⟼(P,e_j,\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(P)e_k+w)\cong V(U\times {ℝ}^n)$

gegeben, wobei man die Abbildung nach $TU$ erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)

$T(\gamma ):I⟶TU,t⟼(\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t)),$

und entsprechend

$T(T(\gamma )):I⟶T(TU),t⟼((\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t)),({\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{″}(t)))$

(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit  ${\gamma }^{\prime }(t)=\sum _{j=1}^n{{\gamma }_j}^{\prime }(t){\partial }_j$  wird dies unter der vertikalen Projektion auf

$\sum _{k=1}^n(\sum _{i,j}{{\gamma }_i}^{\prime }(t){{\gamma }_j}^{\prime }(t){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(\gamma (t))){\partial }_k+\sum _{k=1}^n{{\gamma }_k}^{″}(t){\partial }_k$

abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in $TTM$) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich $0$ ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich $0$ sind und dies bedeutet

$\sum _{i,j}{{\gamma }_i}^{\prime }(t){{\gamma }_j}^{\prime }(t){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(\gamma (t))+{{\gamma }_k}^{″}(t)=0$

für  $k=1,\dots ,n$. 

$◻$

Bemerkung  

In der Situation von Fakt nennt man das Differentialgleichungssystem

${{\gamma }_k}^{″}(t)+\sum _{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(\gamma (t)){{\gamma }_i}^{\prime }(t){{\gamma }_j}^{\prime }(t)=0$

mit  $k=1,\dots ,n$,  das lokal die Geodätischen charakterisiert, die geodätische Differentialgleichung. Es handelt sich um ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung mit $n$ Gleichungen. Das System ist nicht linear und ist im Allgemeinen schwierig zu lösen.

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Nach Fakt muss eine Geodätische die beiden Bedingungen

${{\gamma }_1}^{″}(t)=\frac{2}{{\gamma }_2(t)}{{\gamma }_1}^{\prime }(t){{\gamma }_2}^{\prime }(t)$

und

${{\gamma }_2}^{″}(t)=-\frac{1}{{\gamma }_2(t)}{{\gamma }_1}^{\prime }(t){{\gamma }_1}^{\prime }(t)+\frac{1}{{\gamma }_2(t)}{{\gamma }_2}^{\prime }(t){{\gamma }_2}^{\prime }(t)$

erfüllen. Für  ${\gamma }_1=x_0$  konstant wird dieses System zu

${{\gamma }_2}^{″}(t)=\frac{1}{{\gamma }_2(t)}{{\gamma }_2}^{\prime }(t){{\gamma }_2}^{\prime }(t)$

mit der Komponentenlösung

$y_2(t)=e^t$

und der Gesamtlösung

$y(t)=(x_0,e^t),$

die auf einer vertikalen Geraden verläuft. Darüber hinaus sind nach Aufgabe

$\gamma (t)=(s,0)+r(\tanh t,\frac{1}{\cosh t})$

zu  $s\in ℝ$,   $r\in {ℝ}_{+}$  Lösungen, die sich nach Fakt  (3) auf den Halbkreisen mit Mittelpunkt $(s,0)$ und Radius $r$ bewegen.